如何研究分形邊界條件的偏微分方程？

01-16

我們貌似只喜歡研究光滑，正則的條件和解，但是曼德布羅特告訴我們有種東西叫分形，我們應該研究研究不光滑的事物。在我本人可憐的搜索能力範圍內，好像沒幾個人在研究這個問題。（搜到了蘇維宜教授和她的弟子們）
問題：
1.現在對這個領域研究情況如何?

2.這個領域有哪些值得研究的問題？有什麼工具可以處理這些問題？
=============================================
如果本問題激發了您無限的研究靈感，幫助您成功摘得菲爾茲獎（滑稽），請在此貢獻一篇精彩的回答，謝謝合作。
因為快要開學了（寄宿制學校，沒電腦和手機），題主有點著急，各路大神可以先佔樓再更新，讓我看到大家的身影，拜託了！（躁動不安）

感謝各位對傳播科學做出的貢獻！

這方面的研究其實不少。我舉個一個例子吧：關於橢圓Laplace運算元的可解性。

這個問題的起源是平面單位圓盤上解析函數的邊界值問題。E. B. Fabes, M. Jodeit Jr. 和 N. M. Rivière 三人1978在 Acta mathematica 上的一篇文章用調和分析手段在高維空間研究了這個問題。他們給出了在 $C^1$ 區域上 $L^p$ 邊值的Laplace函數的可解性（即解在什麼意義下存在）以及能量估計。其後1987年B. E. J. Dahlberg與C. E. Kenig在Annals of mathematics上發表了關於Lipschitz區域上的類似結果（ $L^p, 1<P> 成立, <img src=$ 時存在反例）。後來的十幾年裡，C. E. Kenig等一大批人將相關結果推廣到了NTA區域(nontangentially accessible domain)等更加廣泛的區域上面，包括一些分形的區域。直到今天都還有不少在這類區域上的後續研究工作，比如關於高階橢圓運算元等等。如果你在網上查到引用了我提到的這兩個文獻的文章，我想你會得到不少的結果。也有不少書就是這方面的。比如Kenig的講義

boundary value problems on Lipschitz domains, Beijing Lectures in Harmonic Analysis

以及書

Harmonic Analysis Techniques for Second Order Elliptic Boundary Value Problems.

就醬~