《高等數學》教材中用極限定義導數是必要的嗎？

眾所周知，《高等數學》教材中通常將導數定義為平均變化量當時的極限，即

，

但是，前幾天我偶然遇到了一個完全不藉助極限，只藉助代數的導數定義（見圖）：

――――――――――――摘自――――――――――――

以這個定義導數完全不用以極限知識（ε-δ 語言）為基礎，只要在中學代數基礎上再加以深化就能引入。並且這個定義也完全推出了普通微分學的全部法則。為何沒有一本《高等數學》教材使用這種方法定義導數呢？

既然導數原則上只需代數方法就可以定義，那麼為何市面上幾乎所有版本的《高等數學》教材都是清一色的用極限定義導數的？《高等數學》中用極限定義導數是必要的嗎？

---

瀉藥(??﹏?)

先說正事，這本書里定義的其實是可分的代數函數的導數，而沒有定義所有可導函數的導數。

什麼是可分的代數函數呢，比如說(包括但不限於)就是那些帶一堆亂七八糟根號的函數，就是代數函數，但是比根號更奇怪的一些函數一般就不是代數函數了，他的定義就不能適用了。甚至於，e^x這個函數，他都不是代數函數，因此也不能定義導數╮(╯▽╰)╭

但是他這裡的定義是不是就沒有用了呢？

顯然不是啦。事實上這種把求導抽象出來的想法非常有用，在很多地方都有很重要的運用。事實上，你可以把它看成一個對函數的操作(就是說，從函數到函數的映射)，滿足線性和這個性質(fg)" = f"g + fg"

所以說這裡定義的導數和數分里定義的導數完全是兩個意義，分析里的定義是為了讓你有一個工具去研究各種各樣稀奇古怪的函數，它們分析上的性質。但是這裡代數里的意義其實是定義了一個運算元，或者說一個工具來研究代數的性質。

(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)以上是正文(°ー°〃)(°ー°〃)(°ー°〃)

沒載入出圖的時候我以為是奇怪的民科的定義來著……載入出來了之後發現居然是范德瓦爾登老人家的書，簡直惶恐(?_?)

首先吐槽一下題主還在看高等數學的時候就去看范德瓦爾登的代數了……這就好比…好比什麼呢

我也不知道好比什麼(?_?)

范德瓦爾登是代數學的一部經典~但是並不是說是隨隨便便就能夠看的一本書。特別是當你數學分析高等代數還沒有學清楚的時候……他有一些觀點很高，是需要一些底蘊才可以看懂的。

所以題主還是認認真真打基礎吧…

---

不學高數好多年，不懂為什麼會邀請到我，題主這麼多圖看得我好暈，還是用極限定義來得快些。個人感覺，市面上大多數高等數學教材，目的是要用最通俗易懂的方法讓學習的人學明白，顯然導數的定義用極限比題主的圖來得快。

---

推薦閱讀：