如何選擇概率論研究方向？

01-16

最近在找導師，想了解概率論研究的大概方向。目前對學習就是做題準備考試的狀態，對研究了解得不多。個人偏向於泛函中心極限定理（FCLT）和概率測度的tightness，如果是做研究的話，應該選偏理論的還是偏應用的？

我不是概率出身，但是做的東西一直和概率或多或少有點聯繫，試著回答一下。肯定不可能把所有的方向全部提一遍，只能想到什麼說什麼。貌似知乎上有些人對夾雜英文非常不滿，不過有些東西確實不好翻譯，將就一下吧。

概率是一個很大的領域，有類似於泛函分析的理論概率論，比如各種泛函不等式什麼的，這裡面有一些非常深刻的結果，比如10年Villani獲獎的工作optimal transport那部分你要硬說是概率其實也可以；有隨機過程、鞅論等等，比如隨機過程不變測度的問題一直都有一些人在做；還有專門做CLT的、專門做大偏差的、專門做隨機行走/布朗運動的等等；歐洲有一撥人搞離應用問題很遠很遠的所謂非交換概率；離散概率論也還有大量的人在做，一般和圖論、組合關係比較大；然後再就是大量的概率論在統計物理、量子力學、生物、金融、工程裡面的應用，很多應用都是自己成為一個小方向的。

這幾年比較熱門的子方向我能想到的有這麼幾個：1，和KPZ universality有關的一大類問題，包括隨機矩陣、KPZ方程、一大批相關的隨機過程等等；2，percolation可能要單獨拿出來，畢竟percolation的很多結果和KPZ universality沒什麼關係；3，隨機偏微分方程（SPDE）也是很大的一個活躍方向，裡面問題很多，有傳統的well-posedness，有不變測度、ergodicity之類的問題，有最近幾年火起來的rough path、regularity theory（14年菲爾茲）；4，和量子場論相關的大量問題，老一點的比如Ising model、phase transition一直有人在做，還有新一點的比如SLE，這個說實話我不熟，等別人來補充；5、離散概率論一直都有不少人在做，network，cybersecurity，big data這幾年是熱門中的熱門，只要或多或少沾邊的方向都總能沾點光；6，和概率有關的應數（像金融、計算神經科學這樣真正的應用，和物理有關的應用我覺得還算純數）和計算，反正應數永遠都比純數好找工作。

概率論給我的感覺就是一個小圈兒一個小圈兒的，彼此之間不怎麼搭界。

我自認沒有能力比其他兩位答主更好地指出概率論的主要方向和熱門方向。

提供兩個思路：

1. 看近年得獎的概率學者的方向，雖然可能有點滯後，但大方嚮應該沒錯：

Fields獎應該歷史上只有三個概率相關：14年Martin Hairer的SPDE，之前Wendelin Werner和Smirnov的SLE和conformal invariance

另外有兩個概率方向的獎，前一個比後一個更為junior

Rollo Davidson Prize

Lo?¨ve Prize

2. 說實話概率的方向很小，比如北美也就不到十所學校有比較大的概率組。所以如果你現在對研究的具體內容沒有偏好的話，不如從你可以選擇的導師範圍入手進一步了解你的選項。然後考慮一下你是更喜歡分析、PDE還是復變、群表示論還是組合、圖論還是應用（比如運籌，生物信息等等）

量子力學有很多地方能用到

我把這個問題分為兩部分：第一部分，研究方向在選擇導師中所佔的比重；第二部分，概率論的可能研究方向。

第一部分

研究方向不應該是選導師的第一考慮因素。理由的話，其他的答案中都提到，博士的研究題目通常都是很尖端的領域。尖端意味著題目涉及的領域很小，不應該是其他人隨便猜到的。如果題目是很容易猜到的，要麼是非常難的，很長時間沒有解決的，要麼是你的導師水平不夠。不管是上面哪種情況，你的博士生涯都不會是順利的。當然，如果你本身超牛，其實題目、導師什麼的都是浮雲。

導師最重要的是看他對他現在和以前的學生怎麼樣。遇到「人比較好」的導師，即使將來不能留在學術圈，未來也不會差。說的現實一點，博士不管在哪裡讀，都是好幾年的功夫。「人好」的導師不一定能幫到你，但一定不會坑你。其次，要看導師能不能跟你合得來。這個有點像交朋友，講不太清楚。最好的辦法是在選導師前都跟他接觸一下，找下感覺。合不來的話，不要太勉強。關於是要找年輕的還是資深的導師，都是偽命題，各有利弊。

最重要的一點是你自己要給力。不管導師多好，自己沒有成績，還是白費。

第二部分概率論的可能研究方向

從數學學科的角度來看，概率論絕對算是應用數學這一類的；從統計學的角度來看，概率論絕對是純理論。在實際的研究當中，特別是跟數學有關的研究，理論研究和應用研究的界線非常模糊。「好的」應用背後一定會有「好的」理論支持。

回到你的問題，概率論應該算作測度論的一個特例。所謂概率測度（Probability measure）是有限的，使得它有很多很好的性質，很容易被用來描述一些抽象的模型，使得其擁有所謂的「實際意義」。更通俗的講，數學，包括概率論的應用都是針對一些建立在一系列假設條件下的理想化狀況，與實際情況都會有一些差別。這一點非常重要。所謂「做應用方向的」，很大一部分工作就是減少這樣的差異。

概率論的基礎包括，但是不限於，微積分和線性代數（高維問題的必備工具）。對於你現在感興趣的Functional CLT和Tightness，你大概還需要了解一些泛函分析和拓撲的知識。概率論核心的定理就是中心極限定理（CLT），這也反映到概率論最直接的應用－－統計學當中。直到現在，關於中心極限定理以及相關話題的研究仍然是一個活躍的領域。排隊理論（queueing theory）的一些研究屬於「應用」概率論的範疇。這個理論可能應用在一些跟網路相關的問題上。跟中心極限定理對應的還有著名的 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem，這個定理可以算是極值理論（Extreme Value Theory）的基石。當然，還有很多其他概率論的研究方向或領域，包括其他答案提到的。

概率論作為統計學的理論基礎，為其研究者提供無限多種可能。它的應用範圍和研究方向不能有人可以完整的講清楚。研究方向的熱點會隨著時代的變化而變化，但是你會發現對於同一個研究方向，每個研究者的切入角度可能都會不同。讀概率方向的博士，更多是學習研究方法和熟練使用一種或幾種數學工具。如何應用這樣的方法或者工具才是真正體現研究者水平的地方。如果你看一些有年代的概率或者統計方面的書，你會發現它們講問題的角度大多數是從「純」數學的角度出發，「統計」或者「概率」的味道很淡。當然，有時候金礦也正是在這淡淡的味道當中。

與其選擇現在的研究熱點，不如選擇你感興趣同時你可以做的課題。

個人意見，僅供參考。