有限元法中，如果知道四邊形單元四個節點的應力，如何求單元內任意一位置的應力？

01-16

有限元法裡面的四邊形單元，如果知道四個節點的應力，如何求單元內任意一點的應力？除了普通的先求位移再求應變最後求應力的方法外，有沒有直接使用四個節點的應力插值求單元內任意點的應力的方法？

應力作為variable出現在節點的情況也是有的，而且還不少。在 mixed method 中就經常有應變應力出現在節點，non-local theory 裡面也大量出現節點應力用來求non-local stress。

和位移一樣，如果要求單元內部任何一點的應力，只需把節點應力乘以相應單元形函數矩陣就行。注意形行數保持和劃分單元的一致性。希望有所幫助。

不知道是我理解有誤還是你理解有誤。我記得上學時一般只會提到單元應力，節點位移。從來沒有過節點應力這種概念。單元應力也只是提到高斯積分點處的應力，而不是節點處的應力。只有高斯積分點處的應力誤差才比較小。單元應力應是高斯積分點處應力的插值。

節點上只有節點力，節點力不是應力，是合力。應力在高斯積分點上。

這個方法有的。在計算節點不平衡力的時候會用這套東西。你去找找書，我都忘了。

1、題主說的「節點」應該是「結點」，結點是有限元計算的概念，節點是結構工程的概念（比如樑柱節點）。

2、結點應力的有限元解，跨單元一般是不連續的，即不同單元在同一結點處的應力的有限元解不相等，題主需要知道是哪個單元的應力。

3、應力的有限元解，在結點上的精度並不比其他點高，即使用形函數插值，得到的解也好不到哪裡去，何必折騰呢。不如用應力精度高的點插值，別用結點了。

直接形函數插值不就可以了嗎，把要求應力的點的坐標帶到形函數中，分別乘上節點應力加起來就可以了。不過這樣得到的應力不精確，一般高斯點的應力值比較精確，基於高斯點插值比較好。

一般過程是這樣的，建立的有限元方程是求解節點位移的，用每個單元的節點位移求解該單元的應變應力場，然後用每個節點周圍單元的應變應力場通過某種平均作為該節點的等效應變應力

kernel function，任何線性插值的問題都可以等價一個 kernel function 加權的插值

kernel function 有什麼好呢，因為我們可以隨時做個傅里葉分析分出 sampling 部分和 kernel function 部分（可見 introduction to nonparameteric estimation 第一章

有，雙線性之類的插唄。

還是個挺常見的辦法。