如何理解量子力學中的時間反演對稱性？

01-16

我的理解是這樣的，一個系統稱具有時間反演對稱性，如果將所有連續變換的李代數生成元對應算符J變為-J後hamiltonian不變（謝謝@andrew shen, 漏了反幺正條件）。這樣理解是否合適？比如說對於核內部連續自由度的對稱性如何定義對應算符的在時間反演下的行為？如果系統沒有連續對稱性的情況呢？

很奇怪的理解方式. 太數學, 沒物理.

時間反演對稱性在經典力學中是有明確對應的:

考慮牛頓運動方程 $mfrac{mathrm{d}^2 r(t)}{mathrm{d}t^2}=F(r)$ . 令 $t ightarrow-t$ , 則 $mfrac{mathrm{d}^2 r(-t)}{mathrm{d}t^2}=F(r)$ . 令時間反演態為 $r_T(t)=r(-t)$ . 由於運動方程關於 $t$ 是二階導數, 在此變換下不變, $r(t)$ 與 $r_T(t)$ 滿足相同的運動方程. 因此我們稱系統具有時間反演對稱性. 由於 $p=mfrac{mathrm{d}r(t)}{mathrm{d}t}$ 是關於 $t$ 的一階導數, $p o -p$ , 類似地角動量 $L o -L$ . 動量和角動量反號, 整個過程就像電影倒放.

量子力學中的時間反演也是類似的. 只是量子力學中涉及了複數與 Hilbert 空間, 讓一切都變得複雜了起來. 下面我們的任務是給量子力學中的時間反演變換下定義. 我們希望這個定義在經典力學中有對應, 符合我們的直覺: 比如我們希望在時間反演變換下, 動量和角動量反號.

簡單起見考慮一個不含時無自旋系統的 Schrodinger 方程:

$ihbarfrac{partial }{partial t}psi(r,t)=Hpsi(r,t)$ . 類似之前的定義, 所謂系統具有時間反演對稱性, 就是 $psi(r,t)$ 與時間反演態 $psi_T(r,t)=Tpsi(r,t)=T$ 滿足相同的Schrodinger 方程. 由於 Schrodinger 方程關於 $t$ 是一階的, 直接令 $t ightarrow-t$ 並不能得到時間反演態. 但注意到虛數 $i$ , 令 $T$ 為取復共軛恰好滿足之前的定義. 因此可以定義時間反演算符 $Tpsi(r,t)=psi^*(r,-t)$ . 由此可以證明 $TpT^{-1}=-p$ 和 $TLT^{-1}=-L$ , 即動量和角動量在時間反演變換下反號. 同時 $T^2=I$ , 這些都與我們的直覺相符合.

雖然看起來我們有了一個良好的定義, 但我們還是會有一些問題:

$T$ 為取復共軛是一個巧合嗎?

並不是. Wigner 定理表明量子力學中的對稱變換隻能是幺正的或者是反幺正的. 在此框架下, 結合能譜半正定以及 $H$ 非平凡即可證明時間反演算符 $T$ 一定是反幺正的.

就算加上反幺正的要求, 上面的定義仍然太寬泛, 並沒有對 $T$ 施加很多限制. 時間反演算符 $T$ 的選擇是唯一的嗎?

所謂是否唯一, 我們指其對易關係上的唯一, 即其是否總是具有如下的對易關係: $TxT^{-1}=x$ , $TpT^{-1}=-p$ 和 $TLT^{-1}=-L$ . 這個問題的答案取決於"時間反演"這個概念的定義.

如果我們將反演理解為: "反兩次就恢復原樣", 即 $T^2=cI$ , 那麼時間反演的定義是不唯一的. 但總存在滿足: $TxT^{-1}=x$ , $TpT^{-1}=-p$ 和 $TLT^{-1}=-L$ 的定義.

如果我們再增加兩個條件, 即要求空間的均勻性 $[T,e^{-iap}]$ 以及時間反演後的位置不變性 $[TxT^{-1},x]=0$ , 那麼便可以得到此時的時間反演變換算符一定有 $TpT^{-1}=-p$ 和 $TLT^{-1}=-L$ .

關於以上兩個問題的具體證明細節可以參考: http://www-bcf.usc.edu/~bwrobert/research/RobertsB_TimeReversalProps.pdf

TH(k)_{sigma}T^dagger=-H^*(k)_{-sigma}

with sigma= |up&>=-|down&>,T is the time reversal symetry(TRS) operator or the representation of TRS which satisfied TT^dagger=I.

PT對稱引入光學可能有更直觀的體現，一個光學系統中波導的復折射率滿足周期性調製。

本人從事光學波導結構設計，還未能深入到量子曾賣弄理解，但是PT對稱在光學領域的應用可參考幾位大牛，C.M.Bender, D.N.C