剛剛看完了《數學：確定性的喪失》，看的我雲里霧裡，現代數學的基礎到底是什麼，這個基礎到底確不確定？

01-16

數學的基礎是不是叫元數學，有沒有關於「數學的基礎」方面的書籍推薦，謝謝
看了大家的回答，基本上都是在評價這本書以及作者，其實我想知道的是現代數學的基礎到底是什麼，或者說作為數學系的同學，你們學數學時是怎樣處理「數學基礎」這個問題的，還請大家多談談現代數學基礎這方面的內容

這是Brown Chen推薦的書評，考慮到很多朋友上英文網站不習慣，特意貼在這裡（費了我老大勁，嘿嘿）

先跑個題,近現代與數學有關的著名克萊因有兩個,一個是德國的Felix Klein,差不多跟希爾伯特相當的巨擘,從幾何到代數都有很多貢獻.另一個就是美國的Morris Kline,數學史/數學教育專家,著名科普作家.如果只看中文的話,有可能搞混淆.

這裡談到的是美國的克萊因,很能寫書.我看過不少他的作品,應該說他還是懂很多數學的(廢話),雖然在深度上不能跟德國那個克萊因比.除了數學的理論以外,跟數學有關的雜七雜八的東西他知道的不少,文筆也不錯,所以他寫的書基本上有一定可讀性.在亞馬遜上,可以看到很多非專業讀者讚揚他的書籍.

事實上,德國那個克萊因也寫過"科普"讀物,叫做&<高觀點下的初等數學&>,據說是培訓中學教師的,我也看過,感覺很難讀懂.德國人寫書也許大都如此.

言歸正傳,我在讀美國克萊因所寫的&<數學與物理世界&>這本書的時候,似乎能隱隱約約體會到他內心的情緒.他不止一次提到,當代的數學教育只是把乾巴巴的定義定理塞給學生,沒有能夠讓學生感受到數學的美好.應該說,他並不是"實用主義"數學家,也就是說,他同樣很讚賞抽象意義的數學的美,即使這種數學看起來"沒用",不過他一直很強調在數學教育中,要準確的把握歷史的脈絡,給予學生全面而又直觀的感受,讓學生能夠認識到數學家們並不是一群每天做白日夢的瘋子.再奇怪的概念,往往都有發明它的理由.再奇怪的結論,往往都有它存在的價值.

記得美國在受蘇聯刺激後,有一段時間搞起了新數學運動,從小孩兒開始講集合論,群環域,力圖以現代數學家的眼光打造未來的科學超人,我們可以稱之為美國版大躍進.物理學家費曼是這一運動的激烈反對者,他寫過很多相關文章,有興趣的讀者可以查閱.而克萊因看起來同樣也是這一運動的反對者.打個不恰當的比方,這似乎是一群美國牛仔對法國紳士們裝逼行為的鄙夷.我無法判斷這是否有文化上差異的因素,但是最終新數學運動逐漸沉寂下去,與傳統教學混合在一起形成了今天的美國數學教學.

從克萊因本人的價值觀來看,我完全可以理解他對於現代數學日趨走向抽象而感到的不安.但是實事求是地說,他並不是現代數學研究領域的前沿人物,所以他的這種看法,很可能與許多一流數學家是不同的.

至於說現代數學的基礎,我無法回答.其實數學這玩意兒,很多時候是上層建築先搭建起來之後,人們才去考慮基礎的.基礎的存在當然很重要,但有時候先驅們會匆忙的前進,暫時不管腳底下牢靠不牢靠.你看歐拉寫的很多東西,放現在都可以說是民科,但是誰也不能否認歐拉的偉大.打個比方來說,就好比我很討厭一個人,於是成功的殺了他,當我擦乾手上血跡的時候,我才開始考慮,究竟要怎樣從倫理和法律上來證明,我乾的對.

Morris Kline 的這本書基本上是民科作品, 開卷有害, 但似乎在中國流毒甚廣, 莫名其妙.

題主可以看一下這篇書評 http://www.jstor.org/stable/2975679?seq=1uid=3739256uid=2uid=4sid=21103918891241

BTW, 書評的作者 Raymond Ayoub 是華羅庚在美國的學生.

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上面的 "民科" 一詞不是形容 Morris Kline 本人的, 而只是形容他這本書的, 或許這並不是一個很好地形容詞.

現代數學的四大支柱是模型論、公理化集合論、證明論和遞歸論，解決的核心問題是「什麼是『正確』」、「怎樣證明『正確』」。

至於那書，扔掉即可。

推薦汪芳庭的數學基礎

數學基礎 - 圖書

現代數學真正的基礎是抽象代數和點集拓撲

所謂元數學數理邏輯集論這些是名義上的基礎

實質上學數學的並不需要專門去弄

只需要懂一些最基本的公理

如果想進入現代數學抽代和點拓是必須的

現在的一切抽象分支都是建立在這兩個之上的

進一步說現代數學大部分是建立在結構之上的

之後還有範疇(category)

但是範疇是在結構之上的二次抽象所以還是得先學結構

最基本的是兩個結構：代數結構和拓撲結構對應的就是抽代和點拓的內容標準的參考書是法國布爾巴基(bourbaki)學派的《數學原理》（《elements ofmathematic》）中的第二三卷

書名就是《代數》《拓撲》

這套書的前六卷基本就是現代數學的所有基礎內容

不過這套書不適合做教材它的用途是工具書

現代抽象代數的奠基作是范德瓦爾登（ van derwaerden）的《代數學》（有中譯本科學出版社）想了解抽代的可以看看（可以做教材

雖然老但是是我認為截止到目前為止的最好的抽代參考書）

拓撲我比較渣點拓與范德瓦爾登對應的應該是凱萊（Kelly）的《一般拓撲學》不過也比較老

個人比較推薦的是肖蓋（choquet）的《拓撲學教程》（中譯本是現在高等教育出版社的法蘭西數學譯叢中的一本）第一章就是點拓的最基本內容講得很清楚

破除一切神話，一切跟隨經驗驗證，人性就是相信經驗，人就算研究出了真理，還是要驗證，否則不會相信這是真理，這就是人性，人不會有什麼不證自明的東西。這就是這本書的價值。

關鍵是要告別一切神學，把數學當成真理，把物理當成真理，本質上是神學信仰的遷移和延伸，相信有一種一勞永逸，從此可以安心睡覺，不用擔心出乎意料。

科學誕生於宗教，但是淘汰了宗教，這不代表科學本身就完善了。

有些數學專業的人，喜歡把自己學的東西當成真理，別人說它一點不好，就嗤之以鼻，這就是一種神學的心態，把數學當成上帝的心態，數學成了他們的信仰，吃飯的傢伙，就好比你說某個追星族的偶像是個人渣一樣。他們其實根本就不曾注意到數學的整體，他們口口聲聲前沿，那是因為他們只是數學的工人，數學的奴僕，然後通過數學換三瓜倆棗，然後很引以為豪。這都是人類不成熟，嬰幼兒的心態延續。克萊因的書偏哲學，他試圖講述數學的起源和現實的關係，這個東西不能換成錢，所以很多人不以為然，其實他們自己的那點成就根本不值錢，只是拿著前沿狐假虎威，好比神父拿著本聖經嚇唬人。

科學有沒有發展完美的那一天，這才是關鍵問題。這個問題其實不能解決，因為這是個形而上學問題。人們只能幹，而不能幹完，因為無法知道自己是不是幹完了，只要還活著，就沒有盡頭。

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所有的科學書都有一個範式：一上來告訴你什麼什麼是普遍的真理，好比引力定律告訴你天地萬物無不如此，但是你又沒試過，你憑什麼說都是這樣的，人喜歡用有限的自己去揣測無限的世界，喜歡站在神的角度，這就是宗教心態的延續，碰巧很有用所以就認為是真理了。其實人的認知能力有限，所為相信普遍真理也就是找了幾個例子驗證了一下而已。說到底還只是一些猜想，人們為經濟性就這麼說了。現代科學哲學主要還是認為科學都是猜想，因為誰都不可能檢驗完天地萬物是不是都符合這個系統。擺脫神學心態，實事求是，沒啥錯。至於說為啥現在的教科書還是跟神學教條一樣，這應該是經濟因素，因為確實有用，還沒有必要修改。冬至的時候家家戶戶還要燒紙

數學的確定性說白了是一個類似神學的信仰問題。信仰數學的真理性和信仰上帝沒啥區別，很多人可以因此洋洋得意啊。整天宣揚真理，無異於神棍。

我這兩年也算是想明白了，研究數學不能讓你和「神」站在一個陣營，你不是在探索真理，你只是在伺候數學和科學，好比買了台電腦，以為它無所不能，結果全靠我伺候，否則就是一堆垃圾。

書評一篇

http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/8/8_82/8_82_1010.htm

作為一個外行，怎樣來判斷原書是否有可讀的價值呢？

首先是最高票回答的民科刺激到我了，所以我去百度了這本書。

作者: [美] M·克萊因

數學：確定性的喪失

這是百度百科的信息。作者叫M.克萊因，讓我們看看這位上面高票回答所說的民科是何須人也？

維基百科之後的答案：

Morris Kline (May 1, 1908 – June 10, 1992) was a Professor of Mathematics, a writer on the history,philosophy, and teaching of mathematics, and also a popularizer of mathematical subjects.

Kline grew up in Brooklyn and in Jamaica, Queens. After graduating from Boys High School in Brooklyn, he studied mathematics at New York University, earning a bachelor"s degree in 1930, a master"s degree in 1932, and a doctorate in 1936. He continued at NYU as an instructor until 1942.

During World War II, Kline was posted to the Signal Corps (United States Army) stationed at Belmar, New Jersey. Designated a physicist, he worked in the engineering lab where RADAR was developed. After the war he continued investigating electromagnetism, and from 1946 to 1966 was director of the division for electromagnetic research at the Courant Institute of Mathematical Sciences.

Kline resumed his mathematical teaching at NYU, becoming a full professor in 1952. He taught at New York University until 1975, and wrote many papers and more than a dozen books on various aspects of mathematics and particularly mathematics teaching. He repeatedly stressed the need to teach the applications and usefulness of mathematics rather than expecting students to enjoy it for its own sake. Similarly, he urged that mathematical research concentrate on solving problems posed in other fields rather than building structures of interest only to other mathematicians.

克萊因並非是沒有經歷過高等教育，在家自學成才，而是紐約大學的數學博士。二戰期間曾在研究雷達的工程實驗室供職，1952年開始成為紐約大學的教授，並且從事數學教學直到1975年。發表過的作品有：

Introduction to Mathematics (with Irvin W. Kay), Houghton Mifflin, 1937

The Theory of Electromagnetic Waves (ed), Inter-science Publishers, 1951 《電磁波原理》

Mathematics in Western Culture, Oxford University Press,1953 《西方文化中的數學》

《古代派對現代派》1958

Mathematics and the Physical World, T. Y. Crowell Co., 1959 《數學與物理世界》

Mathematics, A Cultural Approach, Addison-Wesley, 1962 ）《數學、文化修養的方法》

Electromagnetic Theory and Geometrical Optics, John Wiley and Sons, 1965 ）《電磁原理和幾何光學》

《對高中數學課程的建議》1966

Calculus, An intuitive and Physical Approach, John Wiley and Sons, 1967, 1977, Dover Publications 1998 reprint ISBN 0-486-40453-6

Mathematics for Liberal Arts, Addison-Wesley, 1967, (republished as Mathematics for the Nonmathematician, Dover Publications, Inc., 1985) (ISBN 0-486-24823-2)

Mathematics in the Modern World (ed), W. H. Freeman and Co., 1968 《現代世界中的數學》

Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972

Why Johnny Can"t Add: The Failure of the New Mathematics, St. Martin"s Press, 1973 ）《為什麼約翰尼不會做加法：新數學的失敗》

Why the professor can"t teach: Mathematics and the dilemma of university education, St. Martin"s Press, 1977 (ISBN 0-312-87867-2) 《為什麼教授不會教書：數學和大學數學的困境》

Mathematics: The Loss of Certainty, Oxford University Press, 1980 (ISBN 0-19-502754-X); OUP Galaxy Books pb. reprint (ISBN 0-19-503085-0) 《數學:確定性的喪失》

Mathematics: An Introduction to Its Spirit and Use; readings from Scientific American

The Language of Shapes (with Abraham Wolf Crown)

Mathematics and the Search for Knowledge 1985《數學和在認識中的探索》或《數學與知識的探求》

從作品上看，克萊因更偏向與從整體上探討數學而非某一細節分支，我更願意稱之為科普作家。

@Brown Chen 您這回答的有些草率吧，不知道您是否讀了這本＜uncertainty＞，您給的民科帽子略誇張。

我讀過次書（英文），個人感覺是講了很多數學思想的變化和發展，最後給了一個結論：數學象物理學一樣，它的確定性在丟失。因為把數學內容寫的很淺，我並不喜歡此書，翻了下douban上的評論，誇讚居多，可能是我還沒讀出精髓，抱歉不能為您解決問題。個人讀書體驗，僅代表個人觀點。