為什麼自旋為整數的粒子是玻色子，而自旋為半整數的粒子是費米子？

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我知道玻色子所構成的體系波函數是對稱的，而費米子體系的波函數則是反對稱的，但怎麼證明波函數的對稱性與自旋取值之間的關係？

這個問題雖然是一個眾所周知的事實，但只有在量子場論中才能給出合理的解釋。

首先玻色子和費米子的定義來自於全同粒子波函數在交換下的性質， $| phi_{1}(x_{1}) phi_{2}(x_{2}) angle=e^{ialpha}| phi_{2}(x_{1})phi_{1}(x_{2}) angle$

再交換一次則又回到原來的狀態了，所以 $e^{i2alpha}=1$ , $e^{ialpha}=pm 1$ .

當等於1時，波函數在對換下不變，定義為玻色子，當等於－1時，波函數在對換下變號，定義為費米子。

題主的問題是，為什麼自旋是整數的是玻色子，自旋是半整數的是費米子。也就是說自旋如何和交換對稱（反對稱性）聯繫起來，這個問題就是量子場論中著名的自旋－統計定理。

交換位置可以看成兩個粒子繞彼此進行轉動，如下圖

圖片來自schwartz，《quantum field theory and standard model》

最一般的交換波函數的關係是 $S|phi_{1}(x_{1})phi_{2}(x_{2}) angle=e^{ikappa phi}| phi_{2}(x_{1})phi_{1}(x_{2}) angle$ . 即態的轉動角度正比與體系的轉動。

在3維下，第一個圖和第三個圖是等價的，可以簡單的理解為講裡面的loop沿著垂直紙面的方向拽出來。因此當 $phi$ 變動 $2pi$ 時，粒子重新回到原位，態是不變的，所以 $kappa in Z$ . 那麼轉動 $pi$ 時，只能有對稱反對稱兩種情況，即三維下，只有玻色子和費米子兩種可能。這一argument密切依賴於維數，二維下就會存在任意子的可能性。

既然交換和轉動相關，那麼轉動再和自旋聯繫起來就比較自然了，注意不同類型的粒子在轉動變換下變換關係時不同的，對於標量粒子自旋0，對應於標量場，在轉動變換下不變，因此 $S|phi_{1}(x_{1})phi_{2}(x_{2}) angle=| phi_{2}(x_{1})phi_{1}(x_{2}) angle$ 。

對於自旋 $frac{1}{2}$ 的粒子，對應的是旋量場，依據旋量在旋轉變換下的變換關係

$Lambda_{s}( heta)=e^{i heta S_{12}}$

其中 $S_{12}=frac{i}{4}[gamma_{1},gamma_{2}]$ , 當 $heta=pi$

$Psi o Lambda_{s}Psi=iPsi$

所以 $S|Psi_{1}(x_{1})Psi_{2}(x_{2}) angle=-| Psi_{2}(x_{1})Psi_{1}(x_{2}) angle$ .

這就建立了自旋和統計之間關係。另外，從數學上同倫論的角度也可以表述的更清晰，轉動群是 $SO(3)$ ,群流形是將直徑兩個端點認同的球體，球體里的曲線可以分成兩類，也就是說 $SO(3)$ 的基本群是 $Z_{2}$ . 對應於玻色子和費米子

基本粒子里只有自旋為零（比如，希格斯），1/2，1。更高的，據說(在經典場論中)會違反因果律。而像引力子（自旋為2）,我不懂量子引力這塊，所以不討論，求大神科普。

波函數的對稱，反對稱問題，由於（單粒子）波函數這個概念和狹義相對論衝突。所以，我們想討論的只是泡利不相容原理（費米子）。

也就是說，現在只討論自旋為0,1/2,1的情況的粒子分布問題（波色-愛因斯坦，or費米-狄拉克）。

之所以自旋為1/2的粒子滿足泡利不相容原理，是由於它的產生和湮滅算符滿足的是反對易關係。（所以，在同一個態上最多只能有兩個自旋相反的粒子）

為什麼自旋1/2的比較特殊（滿足費米-狄拉克）？

是由於它的拉氏量（or運動方程）只是一階微分的，所以它的哈密頓量是一階的——用產生，湮滅算符寫出來~a^{dagger}a-bb{dagger}。這意味著哈密頓量（如果還用對易關係）可以是負的！

解決的方案就是引入反對易關係。

為什麼自旋為1/2的運動方程（拉氏量）是一階的？(而其他的是2階的？)

這是因為我們找運動方程的原則是:

1.洛侖茲不變

2.儘可能小的微分階數

由於它的自旋是1/2，所以p_{μ}σ∧{μ}-&>Ap_{μ}σ∧{μ} A^{t}(在洛侖茲變換下)。也就是說， p_{μ}σ∧{μ} 是有兩個指標，分別是兩個旋量的指標。所以， p_{μ}σ∧{μ} ξ=mη是我們想要的方程，一階（ξ，η是兩個旋量）。