一個關於橢圓的優雅問題(非作業)？

想過一陣子，沒能完美解決，看看知乎大神們有么有漂亮的優雅的解法

如圖所示：

為了簡述問題，定義一個符號：

四點組的意思為點在以點為焦點的橢圓上。若，求證：且

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自問自答？好吧，要是還是高中時候的話應該會更快解決這個問題的（也許叭，老了嚕，嗚嗚嗚）抽了一個上午的時間來重新做這個問題，不但解決了還得到了一些有趣的性質和大家分享~

先給出兩個很基礎的性質：如下圖所示，設為橢圓的焦點，為橢圓上的兩點，為處切線的交點，為延長線上的一點。

性質1：;

性質2：;

上述兩個性質是比較基本的，如果想看帥炸的純幾何證明就查看一下圓錐曲線的幾何性質.pdf中橢圓那一章，翻翻就找到了（高中的回憶系列，好書）

下面是完整證明：

如上圖所示：過兩點處作切線交於，連結,由性質1，有, 由性質2有，於是為的旁切圓圓心，同理為的旁切圓圓心；

設旁切圓切四邊形（或其延長線）於，那麼有：

;

注意到和，代入上式整理得：

,

故在以為焦點的橢圓上,

簡單地可以證明

Q.E.D

—————————————————補充————————————————

補充一個性質：如圖所示（同樣可以參考上面那本書）

性質3：連結和重點的直線平分線段;

有了以上性質之後立馬有：

• 完全四邊形的牛頓線（牛頓線完全四邊形的對角線的中點共線）過旁心；
• 還可以證明和構成的兩個橢圓相切於

歡迎大家繼續給出漂釀的證明，或者有趣的背景，或者繼續深挖的好性質！

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謝邀……抱歉才看到，邀請的問題太多導致沒有看邀請的習慣……

高中的時候做過這題，印象中條件是等價於完全四邊形有旁切圓吧，然後搗兩下就出來了……

更新：這個定理的名字叫Urquhart"s Theorem, 見http://mathworld.wolfram.com/UrquhartsTheorem.html

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