banach空間中,吸收的凸集一定以原點為內點嗎?

01-16

如不是請舉出反例.

下面我們陳述兩個事實，假定大空間X是Banach空間：

均衡吸收並且不以原點為內點的的凸集的存在性和無界線性泛函的存在性是等價的；
在 @余翔的提問歐幾里得空間中的凸集和它的閉包有相同的內部？ - 數學中，無窮維的反例也可以依照1的思路構造.

現在先考慮一個無界線性泛函 $f$ ，考慮集合 $K={xin X:|f(x)|leq1}$ ，這裡顯然K是均衡吸收的凸集，而K沒有內部是由f的無界性保證的.

反過來，如果給定任何一個均衡吸收並且原點不是內點的凸集K，那麼考慮K對應的Minkowski泛函p. 由於K是沒有內點的，因此可以找到一列 $x_n$ ，滿足 $|x_n| ightarrow0$ ，但 $p(x_n)>frac1 2$ ，並且可以假設 $x_n$ 是線性無關的. 這樣可以在 $mathrm{span}{x_n}$ 這個子空間上定義一個線性泛函f，滿足 $f(x_n)=frac 1 2$ ，這樣在這個子空間上f可以被p控制，從而根據Hahn-Banach定理，可以把f延拓到整個X上，並且保持被p所控制，這樣子得到的就是一個X上的無界線性泛函.

因此題主的問題可以轉化成看無界線性泛函的構造問題，這樣看來應該是肯定依賴選擇公理的，也就用Hamel基. 雖然我們平時會見到一些無界的泛函或者運算元，一個典型的例子是L^2-Laplacian，這個雖然是無界的，但是是稠定的，並不是在整個Banach空間上定義好的. 如果要延拓出去的話還是需要選擇公理.

然後再來考慮內點的問題，任給一個無界線性泛函f，令 $K={xin X:|f(x)|leq1}$ ，如果K包含內點 $x_0$ ，也就是說， $existsdelta>0forall yin X(|y|<delta),~|f(x_0+y)|leqslant1$ ，那麼對於 $fracdelta 2>0$ ， $forall xin X(|x|<fracdelta 2)$ ，我們有 $|f(x)|=frac 1 2|f(2x)|leqslantfrac 1 2(|f(x_0+2x)|+|f(x_0)|)leqslant 1$ ，因此K以0為內點，導出矛盾，從而K不包含任何內點.

如果K的閉包也不包含任何內點，那就是說K是X中的nowhere dense集，然後由於K是均衡的，我們有 $X=igcup_{ninmathbb N^+}nK$ ，也就是X可以寫成可數多個nowhere dense集之並，而X是完備的，這與Baire cat定理矛盾，從而我們知道K的閉包一定包含內點，也就是一個凸集的內點和其閉包的內點並不一定是一樣的.

——————————————以下是原答案———————————

謝邀. 不好意思一開始記錯了，把均衡和吸收記反了……

感覺構造反例的過程跟Banach空間沒啥關係。。考慮一個無限維Banach空間X，取X的一族Hamel基 ${e_alpha}_{alphainLambda}$ ，不妨假設 $|e_alpha|=1$ . 由於X是無限維的，所以 $Lambda$ 肯定是不可數集，取一個可數子集 $C$ 出來，記 $C={alpha_k:kinmathbb N^+}$ .

令 $Z={sum_{alphainLambda}z_alpha e_alpha:|z_alpha|leqslantdelta_alpha}$ ，其中,， $delta_alpha=egin{cases}frac 1 kalpha=alpha_kin C\ 1otherwiseend{cases}$

首先 $Z$ 是均衡吸收凸集，這個是顯然的，跟X的拓撲並沒有關係，只要這樣構造出來的都是均衡吸收的凸集. 然而 $Z$ 並不以原點為內點