量子力學是怎麼解釋速度這個概念的？

01-16

速度似乎是個宏觀概念，也就是說是個假象，它的微觀本質是什麼呢？

概率通量矢

$vec{j}=-dfrac{ihbar}{2m}(psi^* ablapsi-psi ablapsi^*)=frac{1}{m}Re(psi^*hat{p}psi)$

對應經典的速度

應評論區要求，我們寫一寫這個問題。

量子力學語境下我們很少談到速度這個問題的根本原因是波粒二象性，如果說要有個速度，那麼應該是概率通量矢，它能夠反映粒子在空間的概率密度流動的情況。

經典力學中速度概念推廣到量子力學中的主要問題是，

量子力學下位置-動量間具有不確定性關係 $Delta x Delta p geq dfrac{hbar}{2}$

即粒子的位置—動量無法同時作為可觀測量出現

也就是說經典力學中 $vec{v}=dfrac{d vec{x}}{dt}=dfrac{vec{p}}{m}$ 不再成立了，

也就是說，速度究竟是坐標關於時間的導數，還是動量除以質量，這在量子力學下是要重新考慮的，也正是因為速度在量子力學中並不是個良定義，大家很少在量子力學討論它。按照量子力學統計詮釋的理解，波函數應當出現在全空間中，那麼坐標的導數還有沒有意義？

如果要強行理解，我們可以理解為波函數的模方（微觀粒子在空間中出現概率）的在空間中的移動速度。

首先我們引入了位置算符 $hat{x}$ 和動量算符 $hat{p}$ ，

由無窮小的平移（動量是空間平移對稱性的體現）我們能夠給出動量算符的樣子

$hat{p}=-ihbar abla$ ;

它作用在坐標表象的波函數能夠給出粒子（波包）的動量，用Dirac符號就是

$langle p|psi angle=int langle p|x angle langle x| psi angle d^3 x$ ;

在這裡我們已經可以類比經典，形式上的定義出速度算符 $hat{v}=dfrac{hat{p}}{m}$ ,從而定義出粒子的速度

$vec{v}=int psi^* hat{v} psi d^3x$

這個玩意和我們的概率通量矢算下來是一樣的，但是這並不是一個很好的方案，因為它並沒有解釋速度是啥這個問題。

我們考慮一個粒子，由於不確定性原理，我們沒法同時給出 $x$ , $p$ ，但是我們知道它的波函數為 $psi(x)$ ,波函數的平方 $|psi(x)|^2$ 表徵波函數在 $x$ 處的出現的概率。

在全空間中，量子出現的概率和為1，

$int psi^* psi d^3x =int |psi(x)|^2 d^3 x=1$ ,

對時間求導 $int (dfrac{partial psi^*}{partial t}psi+dfrac{partial psi}{partial t}psi^*)d^3x=0$

利用Schr?dinger方程 $ihbar dfrac{partial psi}{partial t} =hat{H}psi$ , $-ihbar dfrac{partial psi^*}{partial t} =hat{H^*}psi^*$ , $hat{H}=dfrac{hat{p}^2}{2m}$ 帶入，利用Gauss定理就知道 $dfrac{ihbar}{2m} oint(psi^* ablapsi-psi ablapsi^*)=0$ ,即概率密度往全空間流動的矢量和是0，

我們也抽象出來一個物理量 $vec{j}=-dfrac{ihbar}{2m}(psi^* ablapsi-psi ablapsi^*)=frac{1}{m}Re(psi^*hat{p}psi)$ ，它表示了粒子出現概率向全空間的流動速度。

譬如以單色波為例 $psi(vec{r},t)=A Exp(idfrac{vec{p}cdot vec{r}}{hbar}-ifrac{Et}{hbar})$

帶入 $vec{j}$ 的表達式即得，

$vec{j}=dfrac{vec{p}}{m}=vec{v}$

這就是單色波的速度。

這樣一個答案都能被舉報，知乎上面現在都是什麼人可想而知。

量子力學和分析力學中的哈密頓力學關係緊密，而哈密頓力學中廣義動量是基本量之一，廣義速度不是。

在薛定諤繪景下面不好定義速度算符，但在海森堡繪景下可以定義為坐標算符對時間的導數。根據海森堡方程，這個算符和 $[hat{x}, hat{H}]$ 有關。

如果掉到量子力學的概念里，你這個問題就會有無數個既對又不對的答案出現，而且每個答案對你來講都是對的。這種現象的發生不是量子力學本身造成的，而是我們人為認知造成的。在我的角度來看，量子力學並沒有什麼神秘之處。所謂之光子也是物質的一種結構形式，只不過在能與質屬性的性質表現上偏重於能量性質多點，物質性質偏小一點而已。所以，經典力學中對速度概念的認識完全適合量子力學中。沒必要把不問題的問題換個地方或換參照物就來難為自己。