如何證明二維離散傅里葉變換的旋轉不變性？

若引入極坐標

其中二維離散傅里葉變換由下式給出

求證:

搜了好久也沒搜索出來，都是直接給出的結論。數學功底不好自己推不出來TT，雖然這樣問題不太好，希望能有高手提示一下TT

呃，我懷疑「旋轉不變性」還是只適用於連續的二維傅里葉變換。因為離散變換中，變換前後的函數都只定義在格點上，根本沒法旋轉。

在連續變換中，變換後的函數在處的值，是一個沿方向、角頻率為的複平面波與原函數相乘再積分的結果。如果把原函數旋轉一定角度，那麼把複平面波旋轉相同的角度，與旋轉後的原函數相乘再積分，會得到相同的結果。這就說明了變換前後的函數是同步旋轉的。

謝邀。

離散傅里葉變換的情況確實比較麻煩一些，我就說連續的情況吧：

上的函數的傅里葉變換,

旋轉不變性是說對 進行一個旋轉 其中 是一個正交矩陣且 ，那麼對 進行傅里葉變換得到

令 , ，那麼注意不妨這裡認為 都是列向量，那麼

，代入上式即為

二維DFT怎麼旋轉？除非轉90度。

如果認同插值存在的話，雖然可以任意角度旋轉了，但被採樣信號本身也改變了。從這個意義上講，二維DFT並非旋轉不變的。

ps: 連續FT是旋轉不變的，因為它的變換核exp(-iw*r)里的w*r用的是內積式定義，而內積本身是旋轉不變的。