為什麼應變是這樣定義的？

01-16

我學彈性力學時，課本上的對應變的定義是像下圖這樣的。我一直不明白為什麼會產生這樣一個物理意義不是很直接的定義。
這樣定義的應變應該是一個坐標變換的矩陣吧，這樣的意義是什麼？為什麼要考慮變形前後的一個微小線段的長度的平方的變化？為什麼要取係數1/2？而且這個很難看出物理意義的應變還和應力滿足胡克定律，讓我覺得比較奇怪。

一、構型與變形梯度張量

物體在歐幾里得空間 $varepsilon$ 內佔據空間 $B$ ，不同時刻佔據的區域是不同的（即擁有不同的構型），如圖所示，

$X$ 為材料點，運動與變形後的 $x$ 為空間點；物體的運動和可以表示為 $x=chi (X,t)$ .

二階張量（tensor）可以理解為一種矢量(vector)空間的線性變換，即有 $v= Su$ .

定義二階張量為 $F= ablachi$ ， $F_{i,j}=frac{partial x_i}{partial X_j}$

對於任意一個變形 $chi _t$ ,可在材料點 $X$ 處將變形 $chi_t$ 進行Taylor級數展開，則有：

$chi_t(Y)-chi_t(X)= F(X,t)(Y-X)+o(left| Y-X ight|)$ (當 $o(left| Y-X ight| ) ightarrow 0$ 時)

則 $F(X,t)(Y-X)$ 代表了 $chi_t(Y)-chi_t(X)$ 的一階近似，其誤差為 $left| Y-X ight|$ 的高階小量，比 $F(X,t)(Y-X)$ 更快趨近於零。由於上式中 $X$ 是固定的，則 $F(X,t)$ 是一個常值， $F(X,t)(Y-X)$ 表示一個均勻變形，寫成微分形式，即： $dx= F(X,t)dX$ .

對於某一固定時刻的均勻變形，即有：

變形梯度張量 $F(X)$ 將材料矢量映射為空間矢量。

舉一個具體的例子，便於理解：

對於給定在 $t$ 時刻的運動： $x_1=3X_1,x_2=4X_2,x_3=X_3$ ,如圖所示：

變形梯度張量 $F=[F_{ij}]=left[egin{array}{ccc}3 0 0 \0 4 0 \0 0 1 \end{array} ight]$ 為一對稱的正定張量，說明給定的變形是均勻的純伸長變形。

其位移為： $u=x-X=chi (X)-X= F(X)(X-o)-(X-o)=( F- I)X$

再介紹一下正交張量 $Q$ ，滿足 $Qu cdot Qv=ucdot v$ ， $left| Qu ight| =left| u ight| ,coseta =frac{ Qucdot Qv}{left| Qu ight|cdot left| Qv ight|} =frac{ucdot v}{left| u ight| cdot left| v ight| } =cos heta$ ,

說明正交張量對矢量長度以及矢量間的夾角都不產生影響。

正交張量的一個必要條件為 $Q Q^T= Q^T Q= 1$ , $det Q=pm 1$ .

若 $det Q= 1$ ，則 $Q$ 表示旋轉變換，若 $det Q= -1$ ，則 $Q$ 表示鏡面反射變換。

以上都是基本背景。

二、應變的極分解

在彈性力學中，為什麼應變考慮的是平方項呢？個人認為有以下兩點原因：

1.直接計算位移向量 $dr$ 和 $dR$ 的長度時，必然涉及到開方，計算不方便

2.對於無限小變形下微元 $dr$ 和 $dR$ ， $frac{1}{2} (left| dr ight|^2- left| dR ight|^2)=frac{1}{2} (left| dr ight| +left| dR ight| )(left| dr ight| -left| dR ight| )approx (left| dr ight| -left| dR ight| )left| dR ight|$

$varepsilon =frac{1}{2} (left| dr ight|^2- left| dR ight|^2)/left| dR ight| ^2=frac{left| dr ight| -left| dR ight| }{left| dR ight| }$

故由無限小變形得出來的應變為： $varepsilon_{i,j} =frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})$ ，這是在學彈性力學時大家所熟知的應變寫法。

然而，由背景中所講到的 $dx= F(X,t)dX$ ,直接代入 $frac{1}{2} (left| dr ight|^2- left| dR ight|^2)=frac{1}{2} left( F^T F - I ight) left| dR ight|^2$ ,可得到應變的Lagrange描述（基於參考構型）

$varepsilon =frac{1}{2} (left| dr ight|^2- left| dR ight|^2)/left| dR ight| ^2=frac{1}{2} left( F^ T F - I ight)$

改寫成位移張量描述即為 $varepsilon =frac{1}{2} left[( U+ I)^ T( U+ I ight)-I]= frac{1}{2} left( U^ T U+ U^ T+U ight)$

當考慮小變形時，位移 $U^T U$ 是二階無窮小項，可以略去，即可得到

$Cauchy$ 應變張量 $varepsilon =frac{1}{2} left( U^T+ U ight)=frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})$

考慮變形梯度張量的極分解： $F= R U$ , $R$ 為旋轉張量（見上）， $U$ 為右伸長張量

$U$ 為正定對稱張量， $U^ T= U$ .

$F^ T F=( R U)^ T( R U)= U^ T R^T R U= U^2$ . 定義右 $Cauchy-Green$ 張量為 $C= U^2$

總結： $Green-St.Venant$ 應變張量： $varepsilon =frac{1}{2} left( F^ T F - 1 ight) =frac{1}{2} left( C - 1 ight) =frac{1}{2} left( U^2 - 1 ight)$

$Cauchy$ 應變張量 $varepsilon =frac{1}{2} left( U^ T+ U ight)=frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})$ （基於無限小位移）

Update：知乎改版以後粗體符號/bold識別不了，故全部去掉了，但所表達仍舊為張量形式。

Reference：

[1] Gurtin, M. E., et al. (2010). The Mechanics and Thermodynamics of Continua, Cambridge University Press.

[2] 康國政，蔣晗等(2015).連續介質力學，科學出版社.

一本是Anand大大的書，一本是我老闆的書（逃......

感謝提問，我算是不請自來了。

看到這個題目比較感興趣，也覺得自己在這個知識點有所不足，因此勉強答一下，順便提高自己的理解。

以下公式、圖片等內容是我從英文翻譯過來的（節選，不是嚴格翻譯），跟大家分享一下。

[1] Kinematics:The mathematics of deformation, Rebecca Brannon （表達了作者自己的理解）

[2] http://www.continuummechanics.org/index.html (對連續介質力學很有幫助)

[3] http://www2.mae.ufl.edu/nkim/INFEM/ （非線性有限元網站，包含PPT和Matlab代碼）

第一節：變形

以 $X$ 表示體中初始狀態下的一點，在變形後，該點都映射到了新的點 $x$ 。

體中每個點都會映射到新的點，這個映射表示為

$x=chi (X)$

意思是在映射函數 $chi$ 下，每個點 $X$ 都會變換到新的位置 $x$ 。（見圖1）

在圖1的表示下，點的位移為

$u=x-X$

我們可以把這個公式推廣到更一般的形式，把公式中的字母都看作是向量，即可用這個位移公式表示整個體的位移情況。

圖1

第二節：變形梯度

想像一個簡單的情況：假設有個函數 $y=f(x)$ ，這個函數可以是線性的（直線）或者是非線性的（曲線），若這個函數是光滑的，那麼我們可以在給定的點出求出斜率 $dy/dx$ 。

同理，在變形映射 $x=chi (X)$ 下，變形梯度張量 $F_{ij}=partial x_i/partial X_j$ 也扮演了這種類似「斜率」的角色，並有公式

$dx=FdX$

變形梯度張量的公式為

$F=[partial x_i/partial X_j]$

想像一個單位立方體，取其邊的方向作為坐標系，變形前的坐標系表示為 $[E_1,E_2,E_3]$ ，變形後的坐標系表示為 $[g_1,g_2,g_3]$ ，有如下公式

$g_k=F_{jk}E_j$ （見例1）

例1

由位移公式 $u=x-X$ ，有

$F=frac{partial }{partial X} (X+u)=I+frac{partial u}{partial X}$

第三章：應變

首先描述變形前後長度的改變

$left| |dx| ight| ^2-left| |dX| ight| ^2=dX^{ m T}(F^{ m T}F-1)dX$

因此Green-Lagrange應變張量定義為

$E=frac{1}{2}(F^{ m T}F-1)$

為什麼要有個 $frac{1}{2}$ ？是為了匹配應變無窮小時的情況 [3]。

把Green-Lagrange應變展開

$E=frac{1}{2} (frac{partial u}{partial X}^{ m T}+frac{partial u}{partial X}+frac{partial u}{partial X}^{ m T}frac{partial u}{partial X})$

當應變很小即 $|frac{partial u}{partial X} |ll 1$ 時，捨去高階項，此時有

$E=frac{1}{2} (frac{partial u}{partial X}^{ m T}+frac{partial u}{partial X})approx varepsilon$

其中 $varepsilon$ 為柯西應變張量。

待補充。

這是格林應變。

變形梯度張量 $F_{i,j}=x_{i,j}=frac{partial x_i}{partial X_j}$ （ $x,X$ 分別表示變形的坐標向量和原坐標向量，即 $x=X+u$ ）

剛體轉動、形變都會影響 $F_{i,j}$ ，即 $old F =old R cdot old U$ . 其中 $old R$ 為轉動矩陣， $old U$ 為拉伸張量。

但彈性力學只關心與應力應變有關的形變，而不考慮剛體轉動。

小應變理論*中的應變定義 $epsilon_{ij} = frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i})=frac{1}{2} (F_{ij} + F_{ji}) - delta_{ij}$ 在面對轉動時會遇到問題，因為

$old epsilon = frac{1}{2}(old F+old F^T)-old I= frac{1}{2}(old R cdot old U+old U^T cdot old R^T)-old I$ , 只有在不存在轉動時有 $oldsymbol{epsilon} = {f U} - {f I}$ ，此時應變 $oldsymbol epsilon$ 僅僅與形變有關，否則轉動就會影響應變張量，產生問題。

而格林應變不受轉動矩陣的影響。

有限應變理論中，格林應變 ${f E} = {1 over 2} left( {f F}^T cdot {f F} - {f I} ight)$ . 因為 ${f F}^T ! cdot {f F}=left( {f R} cdot {f U} ight)^T cdot left( {f R} cdot {f U} ight) = {f U}^T ! cdot {f U}$ , 因此格林應變只與形變有關。

寫成分量形式 $E_{ij} = {1 over 2} left( {partial , u_i over partial X_j} + {partial , u_j over partial X_i} + {partial , u_k over partial X_i} {partial , u_k over partial X_j} ight)$ 和上面的 $epsilon_{i,j}$ 比較可以發現，差別其實僅僅在於格林應變多了一個第三項，該項是二次項。該項保證了格林應變相對於轉動的獨立性。（不過在大變形下就會導致格林應變偏離工程應變 $e = frac{Delta L}{L}$ ）

所以，格林應變的優勢就是在於將轉動與形變分離開來，只關注形變。題主教材中給出的推導過程比較反直覺，實際並不是好的定義方法。

*先講小應變公式只是因為我的專業的彈力是學小應變理論，相對熟悉一點。並不是說先有了小應變理論，再出現格林應變對其進行了修正。實際上小應變理論里單獨用了一個張量來處理剛體轉動問題，而有限應變里，變形梯度張量 $old F$ 作為基礎量，將位移（剛體位移和變形）整合到了一起，從它出發推導應變，為了避開轉動，才有了格林應變。實際上，把格林應變放到小應變假設下，就可以省去二階以上的高階項，就有 $E approx epsilon$ .