復向量的內積,想不明白?

01-16

我近日在學dsp..
EPFL的prof對內積的定義是這樣的..
但是!我在國內的資料看到是這樣的

突然有點凌亂,我數學不太好?請問哪個才是對的

兩種方式都可以，算出的結果是共軛的。

通常定義：

n階復向量 $m{x}=[x_1,dots,x_n]^T$ , $m{y} = [y_1,dots,y_n]^T$ 之間的內積為

$langle m{x},m{y} angle = m{x}^Hm{y} = sum_{i=1}^{n}x_i^*y_i$

稱為典範內積(canonical inner product)。

在一些文獻中，也常用一下典範內積形式：

$langle m{x},m{y} angle = m{x}^Tm{y}^* = sum_{i=1}^{n}x_iy_i^*$

兩種定義算出的結果是共軛的，舉例說明：

$m{x}=langle1+i,2+i angle,m{y}=langle1+3i,3+i angle$ ,

第一種定義：

$langle m{x},m{y} angle=m{x}^Hm{y}=[1-i,2-i][1+3i,3+i]^T=11+i$

第二種定義

$langle m{x},m{y} angle=m{x}^Tm{y}^*=[1+i,2+i][1-3i,3-i]^T=11-i$

在應用數學(物理學與矩陣代數)中，很多學者採用的是第一種方式。

在純數學(傳統線性代數)中，多數學者採用第二種方式。

對題主來說，在DSP上應用使用第一種方式即可。

參考：

[1]《矩陣分析與應用》,張賢達

[2] 線代啟示錄－內積的定義 URL: https://ccjou.wordpress.com/2010/01/27/內積的定義/

網上找下山秀明老師的課件，信號矢量介紹很多。

除了維數不同之外，兩者有區別么？

另外，內積可以自由地定義，只不過不同的定義得到不同的內積空間。