傅里葉變換等於自身的函數有哪些？

01-16

一直以來我以為只有高斯函數的傅里葉變換等於自身：
$f(x) = ext{e}^{-x^2/2}, quad F(w) = ext{e}^{-omega^2/2}$

今天發現原來雙曲正割函數的傅里葉變換也等於自身：
$f(x) = ext{sech} (sqrt{pi/2},x) = frac{2}{ ext{e}^{sqrt{pi/2},x} + ext{e}^{-sqrt{pi/2},x}} \ F(omega) = ext{sech} (sqrt{pi/2},omega) = frac{2}{ ext{e}^{sqrt{pi/2},omega} + ext{e}^{-sqrt{pi/2},omega}} \$

還有沒有別的傅里葉變換等於自身的函數呢？用什麼條件能夠導出所有這樣的函數？

Functions that are their own Fourier transformation

貌似等間隔衝擊函數也是

衝擊串啊

這個，題主指的應該是F[f(x)]=F(w)=kf(w).....①吧.實際上k只能等於±2π∧0.5的。

∵設F[f(x)]=F(w)，則F[F(x)]=2πf(-w).......②

把①帶入②。則F[kf(x)]=k2f(w)=2πf(-w)。

即(k∧4)f(w)=(2π)2f(w)，k=±2π∧0.5

但是如果

定義F(w)=(2π)∧(-0.5)∫f(x)e∧(-iwx)dx的話，那的確了....話說為什麼不把1/2π分一半給F(w)，這樣的確很對稱...至於滿足所有變換為自身的函數....它必是偶函數.....

其實這樣的函數太多太多了，除了gaussian function, shah function, 還有∏(t)+ sinc(t) ， 1+δ(t), cos(2π t)+0.5δ(t-1)+0.5δ(t+1)等等, 只要函數 f 是偶函數，假設 F 是 f 的傅里葉變換，那麼函數 f+F 的傅里葉變換就是它本身。

最簡單的，the shah function