什麼是 AdS / CFT ？

01-16

原標題：「總是聽見有人說AdS/CFT大法好，誰能科普一下AdS/CFT？」
它是用來解決什麼問題的？為什麼它能用來解強相互作用？

大約20年前，理論物理學家們開始漸漸意識到一件驚天動地的事情：如果有兩個世界，一個有5維的時空，而且物體之間有引力，另一個世界只有4維時空，沒有引力，那你一定覺得這兩個世界絕對是完全不同的。但是他們發現在一種特定的情況下，種種證據卻表明這兩個世界可以完全一樣：

一個 n+1 維AdS空間的量子引力理論和一個定義在這個AdS空間邊界上的共形場論對偶。

這就是 AdS/CFT 猜想。

下面是一些解釋：

1，對偶性：如果一個物理系統有兩種不同但等價的描述方式，那麼這兩種描述方式是對偶的。AdS/CFT 就是指有這樣一個物理系統。它既可以用量子引力理論描述，也可以用量子場論描述，這兩種方法表面上看很不一樣，但其實完全等價。

2，第一個描述，量子引力，特指基於弦理論的量子引力理論。這個理論中有引力子。

3，第二個描述是共形場論，也就是有共形對稱性的量子場論。這個描述中沒有引力，也不包括引力子。它有一個對稱性，就是共形對稱性。它不僅包括了狹義相對論的洛侖茲對稱性，而且也包括尺度縮放對稱性。也就是說這個系統不管放大多少倍看起來都是一樣的。

4，這是一個強/弱對偶。如果一個系統的各部分相互作用很弱，那我們說它是弱耦合的，這樣的理論容易理解和計算。如果相互作用很強，那即使組分簡單，這個系統的整體性質也極難求解。強/弱對偶指的是，對偶兩個理論，如果引力一方耦合強，那場論一方就弱，反之亦然。

5，這是一個猜想，沒有被證明，但是已經發現了很多支持它的有力證據，而儘管大家努力尋找，仍然沒有發現能證偽它的證據。這個猜想也有很多不同的版本，有的更具體有的更普遍。比如大膽的猜想認為邊界上的場論可以沒有共形對稱性，甚至沒有洛侖茲對稱性，而仍然有一個量子引力理論與之對應。所有這一系列猜想通稱為全息對偶。AdS/CFT是全息對偶的一個子集。

6，這個猜想意義重大。首先，大家不太懂量子引力。但是量子場論則是很多人的老朋友了。所以通過這個對偶性，我們就可以用量子場論去了解量子引力。第二，有些相互作用很強的量子場論非常棘手但是意義重大，而與之對偶的卻是弱相互作用的引力理論，相對容易計算。這樣可以用引力描述回答量子場論中的重要問題。比如用於研究重離子高能碰撞出的夸克膠子等離子體，或者一些強相互作用的凝聚態體系。

7，AdS/CFT大法好，一句戲言，實際是指這個猜想應用廣泛，很多人都靠這個猜想搞研究。

其實就是複變函數里的泊松積分公式，圓盤上的全純函數可以表示成對邊界的某種積分。所以體=邊界。這就是ads/cft，沒什麼特殊的。

解釋強耦合是因為這個「積分公式」里體和邊界的理論的耦合常數互為倒數，所以強耦合變成弱耦合，後者可以用微擾論研究，前者沒有嚴格定義。

Maldacena最原始的表述應該是：

$D=4, mathcal{N}=4, SU(N_{c}), ext{YM theory}$ 和 $ext{Type IIB string theory on} ,,AdS_{5} imes S_{5}$ 對偶。

因為他注意到N個重疊的D3膜和黑3膜在decoupling limit下正好能給出這個結果。

具體的某些對應有：

兩邊理論的對稱性都是 $PSU(2,2|4)$ 其中包括

$SO(4,2) imes SO(6)$ , 超共形不變, 超龐加萊不變

兩邊都有 $SL(2,mathbb{Z})$ S-duality, 這可以說是對偶的對偶
在large N場論里N對應的是弦論里5形式的RR(Ramond-Ramond) flux：

$N=int_{S^{5}}F_{5}$

yang-mills理論的耦合常數 $g_{YM}$ 和弦耦合常數 $g_{s}$ 有關係：

$g_{s}=frac{g_{YM}^{2}}{4pi}$

"t Hooft coupling

$lambda=g_{YM}^{2}N=frac{L^{4}}{alpha^{$

所以當 $lambdagg1$ , AdS的半徑遠大於弦長, 引力可以經典計算, 但場論的微擾計算失效

當 $lambdall 1$ , 場論可以微擾計算, 但弦論這邊的計算十分艱難。

兩邊的散射振幅相等

$Z_{ ext{gauge}}=Z_{ ext{string}}$

即GKP-Witten relation

$langle exp int d^{4}x phi_{0}(x)mathcal{O}(x) angle_{CFT}=Z_{string}(Phi(x,z)|_{z=0}=phi_{0}(x))$

Wilson loop的expectation value可以由計算在AdS中包絡這個圈的極小曲面的面積得到
$langle W(C) angle=Z_{string}(partial Sigma=C)sim e^{-A(Sigma)}$
在plane wave limit下有相應的plane wave string/gauge duality, 相應的gauge theory要取BMN limit。
Ryu Takayanagi formula, namely the holographic entanglement entropy

另外, AdS/CFT不僅限於AdS5上, 我們還能考察

$AdS_{3} imes S^{3} imes M^{4}$ , $AdS_{4} imes S^{7}$ , $AdS_{7} imes S^{4}$

前者是D1-D5膜系統的解, 後兩者是M2膜, M5膜的解。

AdS/CFT現在已經被應用到物理學的各個領域：高能物理, 引力, 凝聚態, 核物理, 數學物理……

比如對QGP的shear viscosity的計算, 以及凝聚態中的holographic superconductor

AdS/CFT 說的是(d+1)維的Anti-de Sitter時空中的量子引力理論和d維時空中的共形場論(這個低維時空是(d+1)維AdS時空的邊界)是對偶的。量子引力理論在這裡只是指在低能下能夠近似到廣義相對論的理論。而共形場論是指具有共形對稱性(什麼是共形不變性？ - 匿名用戶的回答)的量子場論。對偶的意思是指這兩種理論描述相同的物理，比如這兩種理論有相同的Hilbert空間（量子引力理論的Hilbert空間中的一個態必須對應到共形場論Hilbert空間中的一個態）。

為什麼這樣一種對偶是可能存在？當然有很多原因，我在這裡指出兩個最基本的點：

(d+1) AdS時空的isometry group是SO(2,d)，而d維時空中的共形群也是SO(2,d)。（d&>2)
AdS時空的邊界是一個低一維的時空（而如果考慮dS時空的話，它的邊界是一個低一維的空間，而不是時空）

過去二十年，AdS/CFT是理論物理理論（不只是高能物理理論）很熱門的一個研究方向。這是因為1997年的時候Juan Maldacena發了一篇文章 The Large N limit of superconformal field theories and supergravity。他為AdS/CFT找到了一個具體的例子：5維AdS 時空中的弦論（前面說的量子引力理論）跟4維時空中N=4超對稱Yang-Mills理論是對偶的。這篇文章目前有12000+個引用，是高能理論物理中引用最高的文章，而且它的引用數還在不斷增長。

事實上，AdS/CFT有時候也被叫做全息原理。全息在這裡指高一維時空中的信息可以儲存在低一維時空中。全息原理事實上比AdS/CFT有更悠久的歷史。上世紀七八十年代的時候，大家在研究黑洞的時候發現，黑洞的熵正比於黑洞的表面積，而不是黑洞的體積。本科在學統計力學的時候，會學到熵是一個廣延量，正比於一個系統的體積。但是在引力理論裡面，黑洞的熵正比於表面積。所以你可以認為黑洞無法儲存超過它表面積的信息量，這是全息原理的一個線索。

後來在八九十年代的時候，有人在研究3維AdS的時候發現，3維AdS的漸進對稱群不只是SO(2,1)，而是一個無窮維的群，而這對偶到2維共形場論的共形對稱群。因為在2維共形場論裡面，共形對稱群也是無限維的。所以說AdS/CFT事實上在Maldacena那篇文章之前就有一些clue了。

未完待續

http://whystringtheory.com/toolbox/ads-cft/#

狹義的ads/cft，是指，

對於一個5維的anti-de-sitter空間中的引力理論，在ads邊界上，就變成了一個4維時空中的（固定點）量子場論。

廣義ads/cft，是指

五維Ads x 五維球面這個空間上的弦理論，等價於，四維時空中的N=4的super-yang-mills理論。

http://arxiv.org/abs/1409.3575

拋磚，期待更好的答案:-D

不是能解QCD。AdS/CFT說的是5d反de Sitter時空的引力理論和4d的susy Yang-Mills理論是對偶的（比如建立關聯函數的對應關係之類的），而且這個對偶是強弱對偶，比如強耦合的SYM對應弱耦合的引力，就有了AdS/QCD correspondence（←不是這個方向不了解= =）（但QCD和SYM還差很遠的= =）

打開wiki的時候順便看到physics stackexchange的string theory

這是我看過的唯一一個中文的科普：【不是科普慎入】弦理論裡面的全息對偶

不過要找review article的話還是stringwiki的The AdS/CFT correspondence