怎樣理解高級微觀經濟學裡的羅伊恆等式？

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都沒有答到問題的本質。

首先還是從羅伊恆等式如何入手的來講，什麼是羅伊恆等式？

˙OK，那麼這個式子又是怎麼來的？首先了解間接效用函數是如何使得效用最大化？建立拉格朗日函數。

第二步，如何最大化？是對Xi求偏導得出的，

第三步:了解拉格朗日乘子在這裡面的作用。

這裡有必要了解下拉格朗日乘子，拉格朗日乘子其實叫做影子價格，指的是目標函數最大值變動與約束等式參數變動的比例，下面用數學來推一下:選擇兩個變數(x1,x2)，一個目標函數F(X)和一個約束等式G(X)=c，令x杠便是最優選擇，那麼v=F(X)杠表示最高能達到的值，現在假定c增加一個無窮小量dc，令x杠+dx杠為新的最優選擇，而v+dv為新的最優值:

Ok,這下搞懂了這個乘子問題就很簡單了，

那麼以上這個式子到底是什麼，通俗點就是收入增加1單位時所提供的效用的增量。

那麼這個式子呢？是價格增加1單位時所提供的效用增量，Why?基本的代數運算就不贅述。

所以最後得出

它的經濟意義就在於價格增加1單位時實際上等與收入減少了乘子與消費量乘積的效用增量，那麼這個量與收入增加一單位時的增量與比較，自然就等於消費量了。

Roy"s identity 和 Shephard"s lemma 其實都是envelope theorem在間接效用函數和支出函數中應用的特殊結論。 @Weeeek回答的就是證明的思路。

個人認為直覺理解的話，可以更general地理解envelope theorem的數學直覺：維基鏈接： Envelope theorem，因為還會有許多lemma用著相似的思維。

（梯度符號不會打，用微分不嚴謹地代替了。自己寫時注意向量乘積須合法）

由間接效用函數的定義及鏈式法則

v(p,w)=u(x(p,w))

Dp v(p,w)= Dx u(x)*Dp x(p,w)

Dw v(p,w)= Dx u(x)*Dw x(p,w)

則羅伊恆等式可寫為

Dw v(p,w)*x(p,w)+Dp v(p,w)

=Dx u(x)*Dw x(p,w)*x(p,w)+Dx u(x)*Dp x(p,w)

=Dx u(x)*[Dw x(p,w)*x(p,w)+Dp x(p,w)]

Dx u(x)是邊際效用，這個好理解。

方括弧內是一個矩陣，它等於零時，數學上等價於零次齊次（僅當x(p,w)可微時，令alpha-&>1可驗證）。而零次齊次的含義則是「若名義價格和名義收入同比例增長，則消費決策不變」。

至於為何要把零次齊次的微分表達乘上個邊際效用，再寫成

x(p,w)= -Dp v(p,w)/Dw v(p,w)

這個形式，其中一個原因是證明對偶性等命題時用起來方便。把選擇函數用間接效用函數的函數表達出來，有時能大大簡化證明步驟，不僅是換個符號這麼簡單。

樓上貼的那個圖來自MWG，該書里提供了三種證明。這三個證明雖然沒有直接提供經濟直覺，但看看也許能幫你疏通一下。

做題時候感覺作用就是從間接效用函數推馬歇爾需求函數，推導也沒樓上那麼複雜吧，就是利用包絡定理呀。

這裡有三個公式，首先我先按從上到下依次編個號（1）(2)(3)

從EMP支出最小化問題（
expenditure minimizationproblem），我們能得到Hicks需求函數h(p,u)。

支出最小化問題是指什麼？

實際上這用簡單的語言很好理解。EMP就是說，為了滿足我的購物慾望（即效用），那我們最少要花多少錢（即支出最小化），那滿足這兩個條件的量是多少？實際上就是Hicks需求函數h(p,u)。

吊絲一般在做支出最小化問題，他的行為就是Hicks需求函數

UMP效用最大化問題（ utility maximization problem），我們能得到Marshall需求函數x(p,w)

效用最大化問題是什麼？

UMP就是說，首先你有個支出預算w，那我能把錢花的多happy（即效用能達到多大）？？滿足這兩者的解就是Marshall需求函數x(p,w)。

土豪一般在做效用最大化問題，他的行為就是Marshall需求函數

紅樓夢大觀園女當家王熙鳳一般就是你說的第一個公式，h(p,u)=x(p,w)，或許她就是經濟學中說的理性人。

好回到你的問題來:

(1)式是說當我們思考UMP和EMP時,這兩者實際上是同一個事，它們就像是硬幣的正面和反面。只是你從那一面思考問題。這就下圖的Dual Problems。所以我們就會得到(1)式。

如果你能明白Dual Problems ,並能結合我們的日常購物，做預算。這三個公式就是很顯然的。

1（式），從硬幣的正面（UMP）和反面（EMP）得到的解自然會相等。

把Dual Problems想明白，再看一下圖，(2)式和（3）式，還有Roy』s identity的迷惑自然會解開。

Microeconomic Theory (豆瓣) 英文版看這個好，因為經濟專業譯書都太不好。

微觀經濟理論 (豆瓣)中文譯版這是它的中文譯書看這個節省時間。中文書的89頁是上圖的來源。

以上兩本書，網上都能找到，實在找不到到人大經濟論壇

人大經濟論壇-國內最大的經濟、管理、金融、統計在線教育和諮詢網站里找。這兩本書是有點難度，如果太難不用太在意它們的此書中的證明，找個中級微觀，緊緊抓住上面關係，看中級微觀的證明應該能解決你問題。

微觀經濟學的數學參考書

Mathematics for Economists (豆瓣) 英文版

經濟學中的數學 (豆瓣) 中文譯版

羅伊恆等式是對偶性的一部分。對偶性是效用度量的需求（希克斯需求函數）與數量度量的需求（馬歇爾需求函數）之間的相互推導關係。歸根結底，是為了要證明在符合基本假設時，代表偏好關係的效用函數可以用來表示需求。

就是已知間接效用函數然後求馬歇爾需求函數，羅伊和謝潑德大抵都是起一個推導作用。Roy和Shephard我個人感覺都是Lemma，說白了就是工具吧。

真不喜歡看大段的推導。。。羅伊恆等式可以由包絡定理推導出來，推出來就是恆等的，就這麼簡單

謝邀，本人只是武大這個渣渣學校里的高研中心的一個學渣而已，大二這個學期才開始操高級圍觀，roy identity老師上課也有提過，但似乎在平時的測驗中，用處並不多，但是如果是深入了解的話，我只能說這是一個很好的橋樑，從e求偏導得到希克斯需求函數。也是對偶問題框架中的一個重要關係。但如果非要追求其經濟學含義，這個我還沒有想清楚，因為經濟學中的模型和相應假設，削弱了很多實際問題，所以這個等式的經濟學含義似乎並沒有太大的意義，但在考試中你可以通過這個等式，對馬歇爾需求函數以及slusky等式的求解還是很有用的。