量子力學中為什麼要引入複數，引入複數的意義是什麼?

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主要有以下幾方面原因：

　　引用複數是因為在寫波函數時，由於三角函數在一些運算（如乘法）相當麻煩，於是通過 $e^{ix}=cosx+isinx$ 將三角式轉化為 $e^{i f(x)}$ 這樣一個指數式，將方便運算。倘若需要cosx時，取最後運算的實數部分，需要sinx的話，取虛數部分。（類似的，我們在研究電路時也會應用到複數，是因為在模擬電路中常用的正弦信號，那麼不可避免的進行大量的運算。倘若通過傅里葉變換將難以處理的時域信號(正弦量)轉換為易於分析的頻域信號(複數)，僅進行複數的代數運算即可。且使用複數，還能進行頻域分析，以便得到幅頻特性和相頻特性）。

　　那為什麼我們不把實部與虛部改寫成一種兩個實數分量的耦合方程呢？從矩陣力學的角度來說，量子態因為在物理上有線性疊加這個基本的關係，而且還常常存在完備的一套基矢，於是用線性空間來描述它，主要是因為比較方便。為了描寫態的演化與投影關係，Dirac還使用了對偶的空間（左矢量），左右矢量之間通過內積建立聯繫，在物理上代表初到末態演化幾率。指定了一個線性空間，需要指定一個數域，顯然複數域最為方便描述，不會引入對狀態集的額外的、來自數學而非物理上的限制。從路徑積分的角度來說，也是等效的，路徑積分的基本假定就是，一個路徑，要貢獻一個相位，既然寫成指數式，那麼這個相位自然要由複數來承擔(相位是反映交流電任何時刻的狀態的物理量。這裡指描述訊號波形變化的度量)。這樣一來， i 的引入可以使得波函數可以隨時間演化，在沒有 i 的方程中是沒有概率流密度這一概念的。

　　換一種解釋，波函數並不是可觀測量，這意味著它一般不是實數。我們要求函數不僅有大小，而且有相位，它們都有物理意義，大小可以表徵幾率密度，而相位差是波函數疊加的一種形式。每次你觀測波函數時，它都要坍縮到相應的本徵態，此時得到的概率由波函數的模平方決定，與相位無關（被消掉了）。但是呢，在實數函數內我們找不到兩全其美的辦法：既含有相位，又可以讓平方後消去相位。如此，複數來描述相位疊加就不是方便與否的問題了，而是我們非得用到複數不可。

複數對於理解波動行為，尤其是波的相位時十分重要。（所以電子線路震蕩電路計算也引入了複數）。

把波表示成複數，計算波的疊加效果很很方便。直接把複數相加就可以看到干涉時相位和振幅發生的變化。

當然，不用複數也可以，不過很麻煩。

量子力學德布羅意波，粒子可以用波來描述。所以引入複數也就很正常了。

多說一句，沒有複數就沒有近代物理。

量子力學和相對論都用到了i，相對論（x.y.z.ict）

因為波很容易被複數表達出來。粒子同時也是波，指數形式的propagator，如果指數是實數沒有辦法表達波動，擴展到複數域就可以了。

別的答案都挺好的，我只是來提供參考文獻的：

Dirac, P. A. M. (1937) Complex Variables in Quantum Mechanics. Proc. R. Soc. A, 160(900): 48-59. DOI: 10.1098/rspa.1937.0094

Complex Variables in Quantum Mechanics

因為實數域的描述不完備，也就是說如果我們只用實數是不能夠完整的描述整個量子力學系統的行為的，因此我們只能夠擴大數域引入複數來刻畫整個量子體系的行為，我們可以拿經典力學來作對比以體現這一必要性，具體地講量子力學區別與經典力學主要特徵是不對易，不對易是說你進行兩個操作A和B的結果與操作的順序有關係，先進行操作A後進行操作B與先進行操作B然後再操作A是有差別的，而這一差別是通過虛數i來刻畫，因此必須引入複數。換一個角度講，在量子力學中最重要的概念是幾率振幅，而這一物理概念由兩個重要的參量刻畫，振幅和相位，振幅刻畫了不同狀態的關聯強度，相位的大小則刻畫了狀態的方向差別，我們如果在複平面上去描述這一概念會相當的自然。因此引入複數這一概念是相當必要的，它會使得我們對量子體系的描述更加的簡單自然。

從對稱性群的表示就可以看出來複數是必須的，比如從Stern-Gerlach實驗中可以知道電子有兩個自旋態，假如量子力學中的態空間不是建立在複數域上，那麼我們就必須用一個二維實線性空間來描述自旋，但是SO（3）或SU（2）不能在這個空間上建立非平凡的表示，所以實空間不能用來描述實際的物理現象。

不懂量子力學，但是對複數有點思考。

虛數一開始就是數學家或者物理學家為了描述圓周運動或者周期運動而引入的概念。相比實數沿著運動方向，虛數是垂直於運動方向，再輔以適當的係數，兩者疊加就能描述各種受力運動情形了。

再結合排名第一的答案，複數可以更好的描述波函數。

其實就像數學發展史上負數和無理數的發現一樣，複數也是出於某種特定用途而被運用的。數學是基於對這個世界的理解進行解釋的工具，只要有可行方法或者思路你也可以自己創造一套工具出來。

手機補充一句，我覺得其實這個問題本質不是為什麼要引入複數，而是為什麼賦予量子力學以復向量空間的數學結構。（當然它一般涉及的不是有限維的向量空間，但在沒有明顯漏洞情況時我們可以對有限維進行推廣。）顯然復向量空間性質比實的要好，比如本徵值，上三角等等，一樓其實答了些，展開說的話未免略長，題主隨便找一本高階一點的教材前面鋪墊數學部分的時候應該都有。

需要一個其平方等於負一的乘法表。

為了表達，似乎沒發現什麼物理意義

薛定諤要湊出量子力學的波動方程，湊的過程發現必須要引入複數。一個簡單的說明：量子力學裡為什麼要有複數？ ? Joyful Physics

或者我知乎上的一個回答：單從理論上來看，量子力學是否可以拋棄複數，只用實數？ - Joyful Physics 的回答

我提供另一個視角：

如果你沒用複數，那麼態疊加之後的態，他的概率密度你就少了干涉項，你就沒有辦法解釋實驗了。光從這方面看複數的存在就是必要的。

模型好用。

因為連續的對稱操作（平移轉動時間演化）各自構成各自的李群。

沒有complex structure就沒法表示ccr，這樣連最基本的疊加原理都做不到。

不要相信眼睛所見的。我們確實生活在四維空間里。