向量內積外積，為啥要叫「內」「外」？

01-16

在幾何代數中，內積是降階操作，外積是升階操作。兩個矢量的內積是標量，兩個矢量的外積是二階矢量，三維中可通過Hodge運算元對應一階的矢量，相當於叉乘，所以叉乘只在三維有定義，而外積可推廣。利用降階和升階的現象，可將內積外積定義推廣到多矢。

內積 inner product, 又時候又稱scalar product

外積 wedge produxt, exterior product, outer product，中文詞窮，都翻譯成了外積，不過意思也確實差不多

應該最先有矢量間內積的概念，用來求長度，後來內積的概念推廣到矢量空間。然後有了外代數中的wedge product，為與inner對稱，將其稱為outer product.

正好最近也在想這個問題，閑著無聊打點字。

聲明：以下都是我胡扯的，都是我惡意的猜測，具體原因以這些名詞的建立者和把這些名詞翻譯成中文的人的說法為準。

首先「內」「外」之分還是挺形象的，內積的結果是定義在空間里的（一個雙線性函數，結果是一個數），外積的結果則不是定義在空間里，是定義在另外的空間的（至於為什麼歐氏三維空間的兩個向量外積可以定義在三維空間里，就是因為C（3,2）=3，導致外積空間和三維空間同構，其實結果是把外積空間「嵌入」了三維空間而已。）

也可以這樣理解「內外」：兩個向量的內積只需要知道它們生成的平面的性質就可以確定了，而外積必須在這個平面外才有意義，否則就是一個數（還可以用內積表示）。

哦，對，謝匿名用戶提醒，外積的符號^可以念wedge，所以說可以理解成音譯。

外積的最初始的定義是在張量裡面的。用^符號表示

一個p階反對稱張量(也就是p次外形式)^q次外形式=p+q次外形式

兩個向量本來都是一次外形式，兩個相外積得到一個二次外形式，所在空間都變了當然是外了

但是有個叫Hodge星運算元的東西，在n維空間里，它可以把r次外形式映成一個n-r次外形式。所以在三維裡面，一個二次外形式是對應一個一次外形式的，也就是一個向量，所以有的時候就直接向量和向量的外積就是向量了，記住，這個只有在三維空間裡面可以這樣用，比如在相對論裡面，你面對的是四維偽歐式空間，就不能這樣了

而內積只是一個和空間度量係數有關的雙線性齊次式，故就叫內積。

關於Hodge星運算元還想再多說一句，矢量分析裡面習慣認為rot和curl是一樣的……其實二者是差了一個Hodge星運算元的 curl=*rot

內積是一個向量在另一向量所在方向上的積，所以叫內積。

外積是一個向量在另一向量的無關方向上的積，所以才叫外積。

所以，兩個相同向量的積在內積上達到最大，把外積方向給擠沒了，所以外積中如果兩個向量相同則為0。

因為向量相同外積為0，所以才有交換變號，即反對稱性。

Stackexchange上面的考證帖:

terminology - What is "inner" about the inner product?

EDIT: Origin of the terminology of inner product. Grassmann studied Leibniz"s theory of congruence of line segments.He translated the study of congruence of line segments ab into the study of certain functions f of the vectors a?b defined by the line segments themselves. He arrived at the conclusion that these functions must satisfy f(a?b)=f(b?a), and that f(a?b) is equal to the length of ab; in other words he defined an inner product of a?b with itself. The terminology "inner products" is firstly referred to the "Inneren Produkten je zweier paralleler Strecken" (inner product of any 2 parallel line segments) and then extended to non-parallel ones.

wedge production=外production=外積

→_→

矢量的內積本質上是向量的張量積的縮並，也就是我先用這兩個向量組成了一個張量（並矢），然後對這個張量的對角線求和，得到一個旋轉不變數。而外積本質上是兩個向量張量積組成了一個二階張量，對這個張量進行的Hodge star操作，把二階張量映射為一個一階的矢量。因為整個空間是3維的，所以二階張量和一階矢量之間有一個一一對應的關係（ $C^1_3=C^2_3$ ）。ps如果是三個向量的混合積的話其實是先做三個向量的張量積，變成一個三階的張量，然後映射為一個零階的標量（ $C^0_3=C^3_3$ ），也就是我們說的體積。本質上這些操作可以推廣到任意維的空間，但是其它維度的空間並沒有那麼好的性質，兩個矢量的張量積的Hodge star和矢量沒有一個一一對應的關係（基不能一一對應）。