1、2、3、8、26…… 下一個數是什麼？

01-16

正確答案是132987642080134950924815
通項公式為：
$frac{1}{120} (132987642080134950924744 n^5 \-1994814631202024263871135 n^4\+11303949576811470828603070 n^3\-29922219468030363958067005 n^2\+36438613929956976553379606 n\-15958517049616194110969160)$

（抱歉哈，既然給了選項，實在忍不住就換個姿勢繼續黑了。）
甲：答案選 96，通項為
乙：答案選 108，通項為
丙：答案選 112，通項為

丁：答案選 120，通項為
有異議？難道大家用的不是同一個次元的計算器？(*°?°)/~ ┴┴

前面的答案都沒有說明為什麼，只是給出了答案，但是一般人完全搞不懂為什麼啊喂。

先放出結論：第六個數可以是任意值。

事實上：任取前k項 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，……， $x_{k}$ ，一定可以求出多項式
$x_{n}］ c_{0} +c_{1} n+ c_{2} n^{2} +$ ……+ $c_{k-1} n^{k-1}$ , 使得此多項式符合這k項。
下面試著給出易懂的證明：（使用了少量的線性代數知識點，如果不懂的話可以按照我說的向量的方法去理解:) ）
對於這種找規律的題目，我們只要能找出一個通項公式使得題目中的項全部符合這個通項公式，那麼我們就找到了規律。
我們先從一個小學一年級的數學題開始。
寫出數列前兩項1，2，請寫出第三項。

正常的小學生應該直接就寫3了。
但是1不可以嗎？2不可以嗎？0不可以嗎？
那麼讓我們來看一看0到底行不行。
符合這三項的通項公式有很多，讓我們來找一個最簡單的二次函數。
設通項公式 $x_{n} =a+bn+cn^{2}$ ，
解方程組 $left{egin{matrix} a+b+c=1 \ a+2b+4c=2 \ a+3b+9c=0 end{matrix} ight.$
三元一次方程組，有三個方程，必然有解，解出來是 $x_{n}=-3+frac{11}{3} n-frac{3}{2} n^{2}$ .

那麼我們推廣一下，我不要寫 1，2，0 了，我任意的寫 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ，是不是也能解出來一個類似的通項公式呢？
任取 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ，由我們前面設的通項公式 $b_{n} =a+bn+cn^{2}$ ，
得到方程組 $left{egin{matrix} a_{0} +a_{1}+a_{2} =b_{1} \ a_{0} +2a_{1}+4a_{2} =b_{2} \ a_{0} +3a_{1}+9a_{2} =b_{3} end{matrix} ight.$
為了很容易的確定這個方程組有解，我們把它寫成向量形式
$a_{0} egin{pmatrix} 1\ 1\ 1 end{pmatrix}+ a_{1} egin{pmatrix} 1\ 2\ 3 end{pmatrix}+ a_{2} egin{pmatrix} 1\ 4\ 9 end{pmatrix}=egin{pmatrix} b_{1} \ b_{2}\ b_{3} end{pmatrix}$
那麼這個問題就轉化成了前三個向量能否組合成第四個向量的問題。
顯然，這三個向量不共面，我們可以把這三個向量看作空間中的一組基，那麼他們可以組合成空間中任何一個向量。
由此我們可以看出任取的 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ，我們一定能夠找到一個通項公式 $b_{n} =a+bn+cn^{2}$ ，使得此通項公式滿足我們任取的這三個數。
這是3維的，那麼4維的呢？n維的呢？

我們繼續推廣，回到我們本來的問題：任取前k項 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，……， $x_{k}$ ，是否可以求出多項式 $x_{n}］ c_{0} +c_{1} n+ c_{2} n^{2} +$ …… $+c_{k-1} n^{k-1}$ , 使得此多項式符合這k項？
答案是顯然的，和剛才一樣的道理，我們列出方程組
$left{egin{matrix} c_{0} +c_{1} + dots+ c_{k-1}= b_{1} \ c_{0} +2c_{1} +dots + (k-1)c_{k-1}= b_{2} \ dotsdotsdotsdotsdots\ c_{0} +kc_{1} +dots + (k-1)^{k-1} c_{k-1}= b_{1} \ end{matrix} ight.$
把它轉化成行列式 $c_{0} egin{pmatrix} 1\ 1\ vdots\ 1 end{pmatrix}+ c_{1} egin{pmatrix} 1\ 2\ vdots\ 3 end{pmatrix}+dots+ c_{k-1} egin{pmatrix} 1\ k-1\ vdots\ (k-1)^{k-1} end{pmatrix}=egin{pmatrix} b_{1} \ b_{2}\ vdots\ b_{3} end{pmatrix}$

根據我們前面所得的，稍加推廣，我們知道這個行列式的值顯然不為0，即這k個向量在k維空間可以組成等號後的向量。
這個係數行列式其實就是一個范德蒙行列式_百度百科，那麼顯然它的值不為0，此式有解得證。
所以到這裡我們發現那些找規律的題完全沒有任何意義，你可以隨意寫出一個數字，一定能找到一個多項式符合你寫出的這一組數字。
前面我們證明的其實就是拉格朗日插值公式。
所以題主的這個問題實際上沒有答案，因為有無數個答案。

我覺得，碰到這種出題者顯然沒正經完成理工科本科階段教育的情況時，最高冷的方法就是寫上拉格朗日插值公式，然後狠狠的嘲諷一下出題者(⊙ω⊙)。
丫弱成這樣還好意思出題？o(｀ω′ )o
寫公式不易，給個贊吧　(￣▽￣)
尤其是知乎的破公式編輯器這麼難用(╯°□°）╯︵ ┻━┻ 讓不讓人好好答題了。

93
1×3+5=8 ,2×8+10=26， 3×26+15=93

108 答案應該不止唯一
補充下題目環境，某互聯網公司的網上筆試題，應該是這個，估計是技術開發類的。

數組賦下標1（0），2（1），3（2），8（3），26（4）
從第二項開始
2=1X0+ 2，
3=2X1+ 1，
8=2X3+ 2，
26=3X8+ 2；
取數列B=（2，1，2，2）
其相應的前n項和為Sn=（2，3，5，7）為一純質數數列（- -好巧，我也是偶然發現）
則Sn第五項為11，即數列B第五項為4，26X4+4=108
因為是筆試題，所以應該不是用計算器算的那種=。=至於圓周率，若是能現場寫出來的話自然也會得到欣賞和承認的吧

1,2,3,8,26 - OEIS
這個數列在OEIS上只能查到一個結果：
A107704：Diagonal sums of A103209, viewed as number triangle.
1, 1, 2, 3, 8, 26, 107, 492, 2481, 13599, 81288, 531343, 3790344, 29279668, 242278645, 2125160800, 19608039385, 189437263949, 1912477987102, 20161911603747, 221869317899264, 2546362514225134, 30430660439311103……
實際上可能確實有無數的答案，如果允許用任意「丑」的公式插值。

答案是5啊！解答是這樣的：
當n小於等於5的時候，通項公式，隨便是什麼都好。
當n大於5的時候，通項公式：S[n] = 5 。
於是，這數列是這樣的：1、2、3、8、26、5、5、5、5、5、5、5……
好吧，這是個段子……Kripke講的……什麼？生活大爆炸里的那個？反正他叫Saul Kripke……
好好說的話，Saul Kripke的意思是，基於已知的條件，沒有實質上的理由排除上述答案。換而言之，這是一種懷疑論的立場。基於這種立場，不僅答案不唯一，而且可以有無窮多個回答，換而言之，任何答案都一樣得有效也一樣毫無意義了……少年，嘗試反駁一下不？

後一個數都比前一個數大，果斷填27哈哈

答案是9527……
找規律的問題的問題，關鍵在於，如何定義一個規律是合理的規律？可能小的時候見得比較少，只有等差啊等比啊平方啊這些才算是規律，其他的聽都沒聽過。而現在知乎上的這些大叔大媽們見的規律太多了。。都麻木了。。這樣的話，一來是對那些可以稱為規律的規律不那麼敏感了，因此找不到很正常；二來隨手就能找到一個規律，像 @曹夢迪那個，也沒覺得這個規律多麼不好，作為函數多項式已經相當正常了好么，要是找一個做特殊函數的博士拿出的函數分分鐘虐哭全場。。綜上，建議不要在知乎上問找規律問題。

可以有無數的答案

42
end

儘管沒有這個選項，但我還是堅持42。

（1+2）平方-1=8
（2+3）平方+1=26
（3+8）平方-1=120

211
$g(n)=<1,2,2,3,3,3,...>_{n}$
$f(1)=1$
$f(2)=2$
$f(3)=f(1)f(2)+g(3-2)=3$
$f(4)=f(2)f(3)+g(4-2)=2cdot3+2=8$ $f(5)=f(3)f(4)+g(5-2)=3*8+2=26$ $f(6)=f(6-2)f(6-1)+g(6-2)=8cdot26+3=211$
.
.
.
$f(n)=f(n-2)f(n-1)+g(n-2)$
.
.
.
#我相信可以構造出很多符合條件的函數g。

選c。標準答案。
因為唯一沒有圈的。幼兒園小朋友告訴我

給大量的已有答案都點了反對+沒有幫助。我不贊同對於（答主眼中的）垃圾問題就寫垃圾答案、或者乾脆直接吐槽的態度。這隻會助長寫提垃圾問題/寫垃圾答案的氣焰，於事有害而無補。
===================================================================
正式作答。我想題主和吃瓜群眾們都看得出來，這題如果作為一道考題，它是無合理解的。換言之你愛拿它怎麼瞎掰都行，但要說這道選擇題有個標準答案，它比別的答案都合理，不可能服眾。
那麼我為什麼要來答這道題呢？首先我想分析一下這類題的解題思路，說明一下哪些解題思路是對的，哪些是錯的。我在上一個答案任何找規律填空題是否填寫任何答案都能算作正確？ - 知乎用戶的回答 - 知乎中已經解釋過了這類有限數列求規律題的現實意義：總結，並且預測，且選取的參數自由度不得等於或大於已知量個數，否則不得被稱作「規律」，而應判斷為「證據不足」。所以，以上答案中選取的變數個數大於等於5的「過擬合」答案，純屬調侃，一點都不認真。
在確保參數數量小於5的前提下，我嘗試過了各種常規函數，包括斐波那契數列形式的函數， $f(n)=ab^n+cd^n$ ，得出的結果均為「無解」（私以為連這種函數都還沒嘗試過的人不配說自己思考過這道題，更不配以嘲諷的態度來答這道題）。
到目前為止，我個人傾向於這道題沒有合理的解，當然了，也有可能是我水平有限。
在「這道題沒有合理解」的假設下，我試著來分析一下這道題。
【深夜先滾去睡覺了，未完待續】

我第一個回答有一個贊，第二回答有兩個贊，第三個回答有三個贊，第四個回答有八個贊。。。這是我第六個回答。。。

f(x)=（x-1)(x-2)(x-3)(x-8)(x-26)（x-_）的按照大小順序排列的解。

1 2 3 8 26......
符合一定規律不就行嗎
26=1*2+3*8
下一個數=2*3+8*26
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1*2+1=3 2*3+2=8，3*8+2=26，8*26+3=211

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