費曼圖展開是漸近展開在物理上意味著什麼？

01-16

很多費曼圖展開級數都是漸近級數，儘管我們只需要用到前幾階就能獲得物理圖像，但展開式最終發散會有什麼影響么？有什麼好的理解嗎？

$extbf{Huge 例子：}$

考慮一個歐氏空間中的 0+0 維「量子場論」（可將 $x$ 視為場 $varphi$ ）：

$Z(lambda) =int_{-infty}^infty mathrm{d}x expig( -x^2 - lambda x^4 ig) quad (lambda > 0)$

我們這裡假定 $lambda$ 很小，顯然在 $lambda o 0$ 時，我們得到「自由理論」， $Z(0) = sqrt{pi}$ 。一方面，這個「模型」是有嚴格解的， $Z(lambda) = frac{e^{frac{1}{8lambda}}K_{frac{1}{4}}ig(frac{1}{8}lambda^{-1}ig)}{2sqrt{lambda}}$ , 並且 $lim_{lambda o 0^+} Z(lambda) = sqrt{pi}$ 。

另一方面，讓我們用微擾方法來「研究」這個「理論」，即先對 $lambda$ 做級數展開，然後逐項求積分，可以得到， $Z(lambda) sim sum_{n=0}^infty frac{(-lambda)^n}{n!} Gamma(2n+{1}/{2})$ 。上圖比較了不同微擾論的結果作為耦合常數 $lambda$ 的函數。可見，在 $lambda$ 充分小的時候，微擾論給出滿意的結果，但在任何有限大的 $lambda$ 處，高階微擾論反而未必會給出更好的結果，也就是說，結果不隨微擾展開階數收斂！換句話說，這個級數的收斂半徑為0 —— 微擾論僅在 $lambda o 0$ 時嚴格成立！

究其原因在於， $lambda = 0$ 是 $Z(lambda)$ 的一個本性奇點（見下圖 $mathrm{Im},Z(lambda)$ ）。該奇點的存在影響了該「理論」的冪級數表示，儘管該理論在「物理區域」 $lambda > 0$ 是存在且有良好定義的。

$extbf{Huge 定義：}$

令 $f(x)$ 為某一函數， ${a_i, i=0,1,2,cdots}$ 為一序列，稱有限和 $sum_{i=0}^n a_i x^i ; (nin mathbb{Z}^+)$ 為 $f(x)$ 的漸近級數，若它們滿足。
$lim_{x o 0} frac{1}{x^n}Big[ f(x) - sum_{i=0}^n a_i x^i Big] = 0$ 。

這個定義的意思是說， $f(x)$ 與 $sum_{i=0}^n a_i x^i$ 在 $x$ 充分小的地方值很接近（從上面例子看，這正是我們想要的！）。然而該定義沒有說任何關於有限和隨著 $n$ 收斂情況。換句話說，級數 $sum_{i=0}^infty a_i x^i$ 有可能是不存在的，或收斂半徑為0。我們下文用漸近級數專門指這些發散的級數（的有限和）。另外，一個函數的漸近級數若存在則是唯一的，但不同函數可能有相同的漸近級數。

$extbf{Huge 再求和：}$

微擾級數的漸近性——例如量子電動力學（QED）微擾級數的漸近性後面再提 —— 意味著原則上講，微擾量子場論無法給出充分準確答案，儘管QED的耦合常數足夠小，在目前實驗精度下不足以引起顧慮。面對這個原則問題，自由人戴兒（Dyson, Freeman John) 曾經斷言，解決這個問題要麼需要新的物理理論；要麼需要新的數學方法。

在我們的例子中，問題顯然出在「微擾論」身上。而且考慮到微擾論在3+1維量子場論中的巨大成功，我們希望能夠通過微擾論產生的漸近級數來重構原先的可觀察量（如能量）或中間（如 $eta$ 函數）函數 $f(x)$ ，這樣的方法叫做「再求和」。在再求和方法中，漸近級數實際上可以視為一系列可觀察量的期望值 $a_n = langle S_mathrm{int}^n angle /n!$ ，我們得任務是從這一系列可觀察量中構造出另一個可觀察量的期望值。當然，從數學上將，漸近級數一般存在不止一種再求和方法，而不同的再求和方法有可能給出不同的值，例見： http://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series 。

其中一個常用的方法是Borel再求和。對於漸近級數，

$f(lambda) sim sum_{n} a_n lambda^n$ ，

考慮相關級數（Borel-Leroy 變換），

$B_f(z) = sum_n a_nz^n/n!$ ，

若第二個級數是收斂的（至少存在有限的收斂半徑），易證得，

$f(lambda) = int_0^infty dz ,e^{-z} B_f(zlambda) = frac{1}{lambda}int_0^infty dz , e^{-z/lambda} B_f(z)$ 。

這裡 $B_f(z)$ 叫做Borel函數，它是係數 $a_n$ 的生成函數， $a_n = B^{(n)}_f(0)$ 。

例：若漸近級數形如 $f(lambda) sim sum_n n! c^n lambda^n$ ,

則Borel函數形如： $B_f(z) = K/(1- cz)$ 。

Borel函數 $B_f(z)$ 的解析性質對漸近級數有著決定性的影響。若 $B_f(z)$ 的奇點僅僅存在與負半軸， $f(lambda)$ 很有可能是可以恢復的（只要積分收斂）；若 $B_f(z)$ 的奇點存在於正半軸，重構 $f(lambda)$ 則可能依賴於積分路徑的選擇，這時候我們需要該場論的更多信息（這也說明，該次建模是不完整的）。總之，漸近級數的發散性最終可以歸結與Borel函數的奇性。

Borel再求和也可以更加緊湊的寫成：

$f(lambda) sim sum_n a_n lambda^n sim int_0^infty dz , e^{-z} sum_n a_n (lambda z)^n / n!$ 。

假如漸近級數的發散性強於 $n!$ ，還可以構造推廣的Borel再求和：

$f(lambda) sim sum_n a_n lambda^n sim int_0^infty dz e^{-z} sum_n a_n (lambda z^k)^n / (k n)!, quad (kin mathbb Z^+)$

或更強的：

$f(lambda)sim sum_n a_n lambda^n sim int_0^infty dz,e^{-e^z} sum_n a_n (lambda z)^n / mu_n$

這裡 $mu_n = int_0^infty dt,exp(-e^t) t^n$ 。

至於選取哪種再求和方案，取決與 $f(lambda)$ 的解析性。

我們例子中的漸近級數，使用Borel再求和以後成為

$egin{split} Z(lambda) sim sum_{n=0}^infty frac{(-lambda)^n}{n!} Gamma(2n+{1}/{2}) \ = int_0^infty dz e^{-z} sum_{n=0}^infty frac{(-lambda z)^n Gamma(2n+frac{1}{2})}{n!^2} \ =frac{2}{sqrt{pi}} int_0^infty dz e^{-z} frac{Fig(frac{pi}{2},frac{sqrt{1+4zlambda}-1}{2sqrt{1+4zlambda}}ig)}{sqrt[4]{1+4zlambda}} end{split}$ 其中，

這裡， $F(phi, k) = int_0^{phi} frac{d heta}{sqrt{1-k^2sin^2 heta}}$ 是橢圓積分。相應的Borel函數是， $B(z) = frac{Fig( frac{pi}{2}, frac{sqrt{1+4z}-1}{2sqrt{1+4z}}ig)}{2sqrt[4]{1+4z}}$ ，其奇點位於在 $z = -frac{1}{4}$ ，易知，原函數是可以恢復的。事實上，可以使用數值積分驗證，得到的恰好是原解析解。

$extbf{Huge 奇點：}$

從漸近級數本身來看，是奇點阻止了漸近級數擁有有限的收斂半徑。那麼，我們比較關心的問題是，這些奇點反映了理論的哪些性質？還是先看我們的例子。

首先注意到積分形如 $int dx , e^{-S[x]}$ ，對積分「最大的貢獻」來自於作用量 $S[x]$ 的最小值（即其經典解，包括其駐點）。從下圖看到，在「物理區域」 $lambda ge 0$ ， $S[x]$ 是有下限的，在非物理區 $lambda < 0$ ，體系有不止一個「經典解」（實際上，非平凡經典解 $x = pminfty$ 是 $S[x]$ 的奇點）。這表明，積分在 $lambda<0$ 是發散的。由於級數的收斂半徑取決於 $lambda$ 的絕對收斂性，這些非物理區「非平庸平凡解」的存在，限制了漸近級數的收斂半徑。

類似的例子還見於量子力學（0+1維量子場論）:

非諧振子， $H = p^2 + x^2 + lambda x^4$ ，

這個模型中微擾論關於 $lambda$ 的解析性首先是由 Bender-Wu 研究的，其中的無窮多個奇點又稱掰—吳奇點（Bender-Wu singularity）、

雙勢阱： $H = p^2 + x^2 + 2lambda x^3 + lambda^2 x^4$ 。

在這些例子中，存在非平凡經典解，兩者之間存在勢壘。而在量子理論中，粒子會從一個經典解隧穿到另外一個經典解，根據WKB，隧穿振幅： $psi propto expBig[ -int dx , sqrt{2m(V - E)} Big]; ;; (V > E)$ 。

若做維克（Wick）轉動 $it o eta$ , $iS =i int dt ig[ mdot x^2/2 - V(x)ig] o - S_E = -int deta ig[ mdot x^2 + V(x) ig]$ ，

可見， $V o -V$ 。因此隧穿振幅變成，

$psi propto expBig[ -iint dx , sqrt{2m(V + E)} Big]$ ，

這代表一個動量為 $sqrt{2m(V+E)}$ 的自由粒子的波函數，這個粒子被稱為瞬子（instanton），（當然也可以直接考慮歐氏場論作用量的駐點方法，因為在維克轉動下，V反號，勢壘會變成勢阱 —— 在這個意義上WKB與歐式量子理論的駐點方法是緊密相關的）。

瞬子是量子理論中頗為普遍的物理，它是場論的非微擾解，代表了隧穿現象。由於瞬子的存在，微擾解無法局域於場的局部經典駐點 —— 而這正是微擾論成立的前提，因此這導致了漸近級數。一部分微擾量子場論產生漸近級數，正是因為瞬子的存在。

$extbf{Huge 場論：}$

關於瞬子解對量子場論的影響，李帕托夫（Lipatov）給出了第一個定量例子。不妨考慮歐式量子場論的路徑積分： $Z(lambda) = intmathcal D_phi ,e^{-S[phi, lambda]}$ 。設 $Z(lambda)$ 有如下微擾級數解： $Z(lambda) sim sum_n a_n lambda^n$ 。將 $lambda$ 作為復變數，根據柯西，

$egin{split} a_n = frac{1}{2pi i}int mathcal D_phi, oint_C dlambda , frac{e^{-S[phi, lambda]}}{lambda^{n+1}} \ =frac{1}{2pi i}int mathcal D_phi, oint_C dlambda ,e^{-S[phi, lambda] - (n+1)ln lambda} end{split}$

在n充分大時，積分的主要貢獻來自於S相對於 $phi$ 和 $lambda$ 的駐點。關於 $phi$ 的駐點方程給出的正是經典解，而第二個駐點方程則給出， $lambda^{-1} = - frac{1}{n+1}int d^4 x , V[phi(x)]$ 。需要指出，一般來說可以通過重新定義場（ $varphi = lambda^ u phi$ ），將作用量寫成 $S[phi,lambda] = S_R[varphi]/lambda$ 的形式，其中 $S_R$ 不依賴於 $lambda$ 。因此， $a_n sim left( frac{n+1}{eS_R} ight )^{n+1} approx frac{(n+1)!}{sqrt{2pi(n+1)}}S_R^{-n-1}$ 。若代入前面的Borel求和， $f(lambda) sim frac{1}{lambda} int_0^infty dz ,e^{-z/lambda} ,mathrm{Li}_{frac{1}{2}}(z/S_R)$ ，注意到 $mathrm{Li}_{frac{1}{2}}(x)$ 在 $x=1$ 的時候發散，因此Borel函數 $B_f(z)$ 的奇點位於 $S_R$ 。現考慮歐式空間的 $phi^4$ 理論，重新定義過場以後，場方程為 $partial^2 varphi = -frac{1}{6}varphi^3$ ，

它存在非平凡經典解 $varphi(x) = frac{4sqrt{3} a}{r^2+a^2}, ; ig(r = sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} ig)$ ，

這恰好是一個瞬子，可以看到它僅僅在某一時空點取到峰值。積分可以得到， $S_R = -16pi^2$ 。這樣以來瞬子解給Borel函數帶來的奇點位於負半軸，因此，我們可以通過Borel再求和將 $phi^4$ 理論從微擾級數從還原出來。

$extbf{Huge 量子電動力學和量子色動力學：}$

微擾量子電動力學（pQED）是目前最精確的物理理論之一，例如其對電子磁矩的預測為，

$m mu_{e^pm} = underbrace{2 mu_B {m S}/{hbar}}_{ ext{small Dirac}} imes igg[ 1 + !!!!!!! underset{underset{ ext{small Schwinger}}{uparrow}}{frac{1}{2}} !!!!!!! left(frac{alpha}{pi} ight) + c_2 left(frac{alpha}{pi} ight)^2 + c_3 left(frac{alpha}{pi} ight)^3 + c_4 left(frac{alpha}{pi} ight)^4 + c_5 left(frac{alpha}{pi} ight)^5 + a_{ ext{hadron}} + a_{ ext{EW}} igg]$

其中， $alpha approx 1/137.036$ 是電動力學精細結構常數， $c_2 -- c_5$ 是一些大小為1左右的的常數， $a_{ ext{hadron}} sim 10^{-12}, a_ ext{EW} sim 10^{-14}$ ，該預言與實驗測量得到的值符合到 $10^{-12}$ 。儘管如此，人們還是希望知道該理論給出的微擾級數是否收斂。證明這個問題有若干種方法，除了上面提到的李帕托夫方法外，直接數費曼圖也是一種可行的粗估手段。不過我們這裡採用自由人戴兒的物理辯證。

只需要考慮微擾量子電動力學（pQED）也給出的關於耦合常數 $alpha$ 的級數。負耦合常數對應著正電荷相吸引負電荷相排斥，這就會導致正電荷聚在一起，負電荷聚在一起，且正負電荷極化真空，從而產生更多的正負電子對，因此同種電荷越聚越多，能量越來越小，趨於負無窮。這顯然是一個發散的物理態。因此若耦合常數為負，無論多小，場都可以從真空態，克服質量勢壘，隧穿到這個態，從而產生髮散的結果。這說明，pQED的微擾級數必然是漸近級數。

QCD的瞬子解帶有拓撲荷，因此它們在本質上是非微擾的。瞬子並非pQED、pQCD的Borel函數奇性的唯一來源，在微擾量子色動力學（pQCD）中，圈圖的紫外、紅外動量過程也會引起Borel函數的奇性（相應的，微擾級數的發散），這些奇性與瞬子相對比，被稱為重整化子（renormalon）。pQCD的紅外重整化子處在（Borel函數的）正半軸上，這其實並不奇怪，因為pQCD在紅外端是失效的，紅外重整化子正對應pQCD在紅外端非微擾物理的存在。類似的，pQED的紫外重整化子位於（Borel函數的）正半軸上，因為pQED在甚高能量是非微擾的。一般認為，pQCD中的重整化子代表了QCD在紅外端的非微擾本質，因此無法使用微擾理論解決，至少仍然需要某些非微擾物理的信息。處理重整化子的最好辦法是運算元積展開，當然，QCD的問題也完全可以使用分解定理與運算元積展開來解決，從而繞過重整化子的概念。

$extbf{Huge Pad$

在實際計算中，n－階微擾論需要計算約n!個費曼圖，限於計算能力，人們一般僅能得到少數幾階微擾論的結果。pQED對於反常磁矩完整的計算目前僅能達到5圈（如果僅對某一類費曼圖感興趣，也有計算到7-8圈的）。要想重構原可觀察量，必須使用有限的微擾論結果對Borel函數進行逼近。由於可以大概知道Borel函數的奇性（奇點的大致位置、階數、留數），並且知道其某些漸進形式（例如， $B_f(z) = K/(1- cz)$ ），比較順手的一個數值逼近方法是Pade近似（當然也可以對 $f(lambda)$ 直接使用Pade近似但仍然無法解決高階微擾論收斂性的問題），它將 $B_f(z)$ 用

$R_{n,m}(z) = frac{P_n(z)}{Q_m(z)},, (Q_m(0) = 1)$ ,

並使得

$a_n = B_f^{k}(0) = R^{(k)}_{n,m}(0), k=0,1,2,cdots, n+m$ 。

這樣能夠保存Borel函數的解析性質。在計算高階圈圖效應、臨界指數時這是一個常用的手段。不過Pade近似也有缺點，即它無法處理支割線，最多會引入一系列獨立奇點來「模擬」支割線。為了精確處理帶支割線的理論，我們需要共形變換。

$extbf{Huge 共形變換：}$

仍然考慮任意可觀察量 $f(lambda)$ 在 $lambda$ 的複平面的奇點（勿要與Borel函數的奇點混淆）。我們已經指出，這些奇點阻礙了微擾級數的收斂半徑。這些奇點中危害最大的是 $lambda=0$ 處的支點；對於獨立奇點，哪怕是在物理區域，我們仍然可能得到有限的收斂半徑，只要真實理論的耦合常數落在有限鄰域內。為此，我們希望能夠通過共形變換將所有的支點消除。例如， $f(lambda) = sqrt{lambda}$ ，我們可以引入新的耦合常數 $xi = sqrt{lambda}$ 。量子力學中的例子可見非諧振子。事實上，共形變換還可以提供方便的解析延拓方法，將落在收斂半徑外的耦合常數映射到（新的變數的）收斂半徑內。

同樣，共形變換也可以用來處理Borel函數的奇性，尤其是Borel平面的支割線。因此，結合前述方法，共形變換能夠大大提高從高階微擾論重構原可觀察量的精度。

世日。

我也思考過這個問題. 我覺得這是微擾場論面臨的一個很大的問題. 我高能場論學得不多, 不對還請指正.

漸近級數意味著不可控的近似. 算出一階和二階修正和實驗符合得好, 並不意味著多算幾階結果就符合得更好. 完全有可能多算幾階和實驗就完全對不上了. 雖然物理學家們滿足於低階修正和實驗的符合, 但從邏輯上說, 微擾場論不是一個可靠的理論.

其實這是微擾論普遍的問題. 就是在量子力學中, 比如基態能量關於 $H$ 的微擾也是漸進級數(級數關於 $lambda$ 的收斂半徑是零). Hitoshi在他的http://hitoshi.berkeley.edu/221a/asymptotic.pdf講義中數值計算了這個漸進級數. 在 $lambda=0.01$ 時前40項是可靠的, $lambda=0.05$ 時只有前6項是可靠的.

已經有人說了，費曼圖是微擾理論的一部分，也有人說了紫外和紅外發散的問題。是的，紫外發散和連續的預設有關，而紅外發散則和粒子質量有關，這只是代表模型本身有一些為了簡化而為的部分導致發散，這些發散都可人工解決（如在積分加上下限，通常記作Lambda），而我們也知道了這些發散的漸近式（ $propto Lambda^{-alpha}$ ），都很有可能是有物理意義的。

可是，如果這個發散是以對數形式出現，如 $log Lambda$ ，那你用的平均場解（mean-field solution）是不穩定的。照理說，用重整化群（renormalization group）可看到相關的fixed point是不穩定的。（我說這個沒有底氣，因為我不知道有沒有嚴謹的方法證明了這個關係。）

另外就是說，你的模型可能可以加counter-term抵消這些發散項。

在Landau-Ginzburg模型中研究臨界現象（critical phenomena）時，如果你的發散項是phi^n，而n&>4，這些項都不用理會，即使是發散，因為在coarse grain後這些項都會逐漸消失。可是，如果你不是研究臨界現象，那就不知道了??

費因曼很幸運（當然他的天分和努力也不容小看），做一點點微擾就可以得到一個和實驗極符合的結果，QED是很成功的，但把QED的經驗放在其他問題上不一定可行。我有一位朋友在馬大做博後，他做quantum gravity（不明覺歷），他說要算到極高階，有Mathematica的包幫他算，他的整個博後就是工廠式大量生產地算這個??

微擾法實際上都是Taylor series的各種意義上的推廣，其共同點在於是local的，發散意味著local到"global"的過渡存在障礙，實際上重整化就對應著處理某種奇點（這個我記得有嚴格的數學表述，以前瀏覽過相關的論文，記不起來作者了）。

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Dyson"s argument

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relation with Riemann-Hilbert problem by Connes and Kreimer(who first notices the Hopf alg structure in pQFT. You may also find his book(which can be found in bookfi.)

Knots and Feynman diagrams,Cambridge Lecture Notes in Physics

on this topic interesting.)

http://arxiv.org/abs/hep-th/9912092

http://arxiv.org/abs/hep-th/0003188

this may help if you know some math.

樓上很多回答都是從數學角度進行，我覺得回答得很「精確」但未必「切題」。我想從純物理的角度探討下這個問題，當然這是我自己的理解，大家可以探討。

在沒有費曼圖之前，物理學家計算散射截面時一般用S矩陣展開的辦法，這個辦法雖然很不直觀，但起碼「合理」，但精不精確，又各人見仁見智，從量子場論誕生開始就討論個不停（當然是學術和友好的討論）。很多高階展開其實都歸結為一個問題：「高階展開，物理上到底是個什麼東西？」

要回答這個問題，除去紛繁複雜的場論計算，我們還是首先要問：「我們研究場論的目的在哪裡？」其實答案很簡單，為了計算實驗上的效應，在涉及目前對撞機的實驗中，我們所想要知道的東西其實只有一個：粒子間的散射截面（Cross Section）。有了費曼圖之後，我們對粒子散射有了比較「直觀」的認知，樹圖階的「零階展開」是「經典理論」，圈圖是高階展開是「量子修正」。但其實事情遠不是大家想像的那個樣子。

首先，在拉氏量中，就有個很大的問題，就是「參數定義」，我們怎麼定義「耦合常數」？我們怎麼定義「質量」？甚至我們怎麼定義「場量」？很多人回答，這不很簡單，我在實驗上測出來。問題就在這裡。「實驗上測出來？」你指在什麼能標測出來？量子場論有了重整化的思想後，大家發現耦合常數是會「跑動」的，而且在實驗上也明顯觀測到了。什麼意思？就是不同能標測出來的耦合常數是不同的。如果這些量都沒有準確定義，那麼級數展開無從談起。

我的導師在他那篇RMP關於標準模型的精確測量綜述中，按他的話語，「大部分篇幅都用來敘述怎麼來定義『耦合常數』」。這是個非常複雜的問題。比如精細結構常數很多人都背得出來，但那是在宏觀尺度測量出來的量；Z粒子質量是在Z pole能標上測量出來的；W質量是在W橫向不變質量M_T能標測量出來的；夸克質量有pole質量和MSbar質量；至於QCD耦合常數g_s那就更誇張了，在Λ_QCD以下是非微擾的竟然會大於1，在Z pole那又很小，等等。對於一個拉氏量，在這麼多能標的東西下，你怎麼定義，然後做量子展開？

然後又引出一個問題：能標是什麼東西？量子場論的紫外紅外發散似乎都是與能標相關的東西，而且似乎都與量子場論的級數展開有關。談到這裡，似乎到了點子（Key Point）上了。

還是不談級數展開里複雜的數學。在費曼圖中，比如頂點那有一堆圈圈（高階展開），代表什麼？代表你用放大鏡看，頂點在「更小尺度」有更「細節」的物理。但是，我在實驗上只在一個能標做，或是某種散射過程只有一個能標，那麼我就可以把這些瑣碎的細節統統用一個大的頂點定義，這個大的頂點的「有效耦合」就是這個能標的耦合常數。在計算散射截面時，我不用再計算更高階的修正，而只要算樹圖階就足以得到這個尺度散射的「散射截面」。同樣的，對傳播子上的一坨圈圈歸總起來就是「有效質量」，對外腿上的一堆圈圈歸總起來就是「有效場量」。實際上這就是重整化中的Beta函數的由來。實驗上我們「觀測」到的耦合常數啊質量啊，都是這個能標的樹圖階「有效量」而已。在模擬實驗過程時，比如LHC中的PP對撞，不是大家想像中的那樣，先定義裸的耦合常數，再算高階修正，然後得到散射截面（實際上計算機很難做高階修正）。而是反過來，先定義某個能標的耦合常數，然後用重整化群方程（相當于歸總那堆雜七雜八的圈圖）把耦合常數「跑」到硬散射過程發生的能標，然後計算樹圖階（微擾零階）的散射截面就可以了。這裡面，拉氏量中的所有「常量」並非先要在一個能測量（雖然需要盡量在一個能標定義，比如Z pole上，那裡實驗事例數多，測量精確，但比如Top夸克質量已經高於Z質量，無法在Z pole上定義），所有的量可以定義在各自測量的實驗能標，然後用各自的beta函數跑到硬散射能標，也就是說，pp過程（實際對撞是裡面的部分子，只攜帶質子一部分能量），不同部分子，不同能量對撞所用到的耦合常數是不同的！（模擬上為了方便，還是先把所有量跑一遍到Z pole，寫成一個配置文件讀入，然後再從Z pole能標跑到實驗能標）

但是，我想說的是，實際上這裡面還有更多的問題。有兩個事情。一個就是所謂圈圖（高階修正）歸類到「頂點」、「傳播子」、「場量」修正後，的確能解決部分問題，比如耦合常數跑動等等，但不能解決所有問題，那些量子修正，在計算後發現還留下一些「有限量」，即實際上仍舊會對散射過程發生影響，有一定的修正，這對探測性的實驗沒有什麼貢獻，但對實驗的精確測量會有很大影響。二是如何定義幾階beta函數也是問題，比如一階和二階的beta函數肯定是不同的，那更高階的計算會引起什麼問題？

起碼在QED中沒有什麼大的問題。Dyson也證明了（雖然比較粗）QED的微擾展開是收斂的。不同階的beta函數，實際上只是對耦合常數及質量修正的精度不同（當然這個精度也足以影響模擬結果，所以大多對精細結構常數的修正都是在二階或以上，一般是二階）。然後有限項可以在計算後手工加入，進行精細的模擬。而弱作用的g2耦合常數更小，級數展開，起碼在前幾階十幾階問題都不是很大（除了地下室變態的俄羅斯物理民工也真沒有人真會蛋疼去算四階以上的beta函數，那時影響幾乎可以忽略不計）。但是這在QCD或其它地方會不會出問題，說實話實在沒有人敢打包票。實際上pQCD理論本身適用性還在討論之中。但是因為探測實驗（如LHC）是比較高能的，而且實驗和模擬都有Triggeringd的機制，也就是低能事例的CUT，無論低能的硬散射過程和輻射過程都直接被過濾掉了（甚至不進計算機進行數據分析，有人對此表示疑問因為怕那些事例中包含一些有用的信息，但低能事例實在太多存儲、網路、CPU都太耗資源而且效用不大，所以探測器在設計時就直接做了截斷），QCD耦合g_s跑到那個能標，已經近似可以跟QED一樣的處理方式。可能在數學上會有些問題，但起碼是「可用」的。

至於微擾展開中導致的發散問題，物理上都已有比較成熟的處理機制。紅外發散，在模擬和實驗上處理起來就「簡單粗暴」了：直接對soft過程進行Triggering，直接對soft的光子進行Cut，直接在角分布上做Cut（實際上實驗上，探測器也沒法探測360度分布的末態粒子，也沒法完全」製造「兩個真正行進方向都沿著對撞方向軸向的末態粒子，只是在某種對撞角度事例數會變得極大而已），完事。紅外發散對應的是量子場論的點粒子模型問題，而紫外發散對應的是我們對高能標的物理不知曉，在處理上，把無窮大項定義到「裸量」里完事，實際上還是前面提到的重整化的問題。

總結以下提主的問題吧：實際上樓主提到的發散問題大多可以通過理論中「物理參數「的重定義消除。我們用一個能標的參數，妄圖描述所有能標的物理這種做法本身在物理上是不正確的，這肯定會引起不可避免的發散。其物理意義是，我們在研究不同能標的物理時，拉氏量中，不同能標的零階」常數「是不同的（」常數"其實不常）。而重定義後計算剩下的有限項是該能標真正的量子修正項。更深層次的，除去常數問題本身，一旦高能標有新物理新粒子的存在，用原理論進行級數展開也是存在問題的，所以用一個統一的」裸量「定義高能標的物理（含點粒子本身發散、新物理效應及其它未知的東西）是合理的，待我們發現新物理時將其加入原有模型，又可以重新進行微擾展開，重新定義」裸量「。

我一直傾向把費慢圖看成工具，而且很麻煩，把很多對稱性隱藏起來。回到它要計算的物理量——散射振幅，其局域性和幺正性是人們一直關心的，去年底arxiv有篇文章指出，這兩個性質並非關鍵，他們的出發點是定義一種全新的幾何量，依此散射振幅的計算大為簡化。

Ref：Nima Arkani-Hamed, Jaroslav Trnka, The Amplituhedron, arXiv:1312.2007

我只能想到技術層面，漸進級數意味著微擾展開的局限性，但可以用格點場論可以克服這個問題。所以微擾論的漸進性似乎對場論不是根本性的問題。

引一段perturbation theory in nLab里的話(我不完全同意這裡的說法，phi^3理論同樣是不穩定的)：

Despite what one might naively expect, the perturbation series of natural quantum field theories have a vanishing radius of convergence, they are asymptotic series.

Roughly this can be understood as follows: since the perturbation is in the coupling constant about vanishing coupling, a non-zero radius of convergence would imply that the theory is finite also for negative coupling (where 「things fly apart」), which will not happen in realistic theories.

不妨算個toy model:

$int dx e^{(-x^2+lambda x^4)}=sumint dx frac{lambda^n}{n!}x^{4n}e^{-x^2}=sumfrac{1}{n!}lambda^nfrac{(4n-1)!!}{2^{n+1}}sqrt{pi}=sum e^{O(2nlog n)}lambda^n$

收斂半徑為0.

貌似只有對簡單的模型才解析算一下，之處定性關係，或者關鍵指數的值。

實際應用，都是用計算機算啊，很多專門開發的算費曼圖和解重整化方程的程序（開源的）。