如何理解數域上的product formula（所有valuation乘積是1）？

01-16

感覺這是光滑曲線情形的類比，但是我不明白如何自然地理解這裡為什麼會出現Archimedean的valuation。以及我們應該考慮的幾何對象是Spec(O_k)（只有有限素點和generic point）還是所有素點？後者有什麼幾何的解釋？

spec(Z)是仿射的，其實仿射代數曲線也是，你覺得Archimedean賦值不算賦值，處男不算人，那無窮遠點的賦值也不能算賦值啊……其實你可以這麼理解，本來就是要再加一些place（來緊化），只不過代數函數域的剩餘域特徵是固定的，Z上不是，恰好是Archimedean的而已。你可能希望的是一個非計算性的product formula（見下面分割線後）？

spec(Z)裡面當然是不包括Archimedean點的，就像仿射曲線不包括無窮遠點一樣，然而數論考慮的幾何對象其實未必是spec(Z)，而是再加上阿基米德點，（類比函數域對應著proper smooth曲線）比如說adèle，idèle，Zeta乘上的Gamma就是R這個局部域上的局部zeta函數，類域論也是這樣，而算術曲面(SpecZ上的曲線)的相交理論因為specZ不是緊的，是有問題的，所以才有arakelov theory（加入Archimedean prime部分的除子），Mordell猜想就是這麼被Faltings證明的。

舉類域論的例子吧，函數域上的類域論對應著Poincare duality，它是關於 $H_c(U)$ 和 $H(U)$ 的，和U的緊化有關係，數域上類似的是Artin-Verdier duality，它是也是關於 $H_c(U)$ 的，數域的compact cohomology是強行加上一個Archimedean prime或者重新構造個site（見Milne的Adtnote）構造出來的。

一般的，U是光滑曲線，有etale cohomology的序列

$0 ightarrow H^2(U,G_m) ightarrow Br(K) ightarrow oplus Br(K_v) ightarrow H^3(U,G_m) ightarrow 0$

對應著Galois cohomology的序列

$H^1(G_K,C) ightarrow H^2(G_K,K^{s imes }) ightarrow oplus H^2(G_v.K_v^{s imes}) ightarrow H^2(G_K,C) ightarrow 0$

類域論裡面的第二不等式說 $H^1(G_K,C)=0$ ，在代數幾何里就是說 $H^2(U,G_m)=0$ 這個數論事實是建立在proper曲線的Jacobian的Galois cohomology計算上的，U要是proper的。

對數域是 Brauer-Hasse-Noether序列

$0 ightarrow Br(K) ightarrowoplus Br(K_p) ightarrow mathbb{Q/Z} ightarrow 0$

中間的求和是包括實數域R這個阿基米德局部域的，而且很重要。

————————————————————分割線

對函數域，product formula從代數幾何來說是一個proper性的要求。

先說一些代數數論的常識吧，不懂可以先略過，但是要知道結論。

數域和函數域K上的adèle $A_K$ 都有這樣的性質：

1.它是局部緊的

2. $A_K/K$ 是緊的， $K$ 在 $A_K$ 裡面是離散的。

這兩個性質就能從非計算的角度推出product formula（計算的方法地球人都會證啊），這是因為這麼一個定理（這個證明可以見任意一本拓撲群教材，比如說黎景輝的拓撲群引論）：

對於離散或者緊Abel群，如果有一個同構 $alpha:G ightarrow G$ ，那麼在G的Haar測度下 $|alpha|_G=1$ 。

每個K上的 $alpha$ 能通過乘法就是一個 $A_K$ 的同構，而因為 $A_K$ 是局部緊的， $|alpha|_{A_K}=|a|_K cdot |a|_{A_K/K}$ ，後面兩個中，K是離散的， $A_K/K$ 是緊的， $|alpha|_{A_K}$ 只能得1了。

（簡單地說，因為alpha能無限乘，而A/K是緊的，矛盾）

其實假如你取了域上的一部分賦值（未必是全部賦值），也能構造一個像adèle一樣的東西。

因為對任何的光滑曲線U都有：

$0 ightarrow O_U ightarrow K_U ightarrow K_U/O_U=oplus K_p/O_p ightarrow 0$

這是一個 $O_U$ 的零調分解（Grothendieck-Cousin complex），那麼其實對每個除子D， $H^1(U,O_U(D))=A_U/K+A_U(D)$ ， $A_U$ 是你構造的那個adèle。

按照Serre有限性定理，因為|K+A(D)/K|這個因子相當於一個 $H^0$ ，只有U是proper的時候 $A/K$ 才是緊的（這時候Haar全測度有限，又是局部緊才是緊的），那麼就是說對函數域，proper和product formlua是綁定的，數域可以類比（這個類比參考Neukirch的代數數論，Riemann-Roch那一章）。