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博弈論實分析數學數理經濟學納什均衡NashEquilibrium

利用 Kakutani 不動點定理證明納什均衡的存在性定理時，最佳反應對應的「上半連續」如何證明？

01-16

張維迎的《博弈論與信息經濟學》P70 給出了一個利用引起矛盾的證明，但對於那個給出的不等式有些不懂，不等式的第四項到底如何得出的？

這個是經濟學裡，尤其是微觀經濟學需求理論里經常碰到的Berge"s maximum theorem的推論：

Berge"s maximum theorem：給定一個帶參數的最優化問題 $max_{z in A( heta) }F(z, heta)$

滿足：

多值函數 $heta Rightarrow A( heta)$ 是連續的，且 $A( heta)$ 是緊緻的。
函數 $(z, heta) mapsto F(z, heta)$ 是連續的

則 $heta mapsto max_{z in A( heta) }F(z, heta)$ 是連續的，而多值函數 $heta Rightarrow operatorname{argmax}_{A( heta)}F(cdot, heta)$ 是上半連續的

這裡 $heta$ 對應其他人選擇的策略 $sigma_{-i}$ , 而 $A( heta) = 、(A_i)$ 對應一個常多值函數。

所以 $sigma_{-i} Rightarrow operatorname{argmax}_{、(A_i)}u_i(cdot, sigma_{-i} )$ 是上半連續的。

謝邀。。題主不放個圖片啥的我咋知道哪個不等式和哪個第四項啊。。

不清楚題主的數學水平，我就按照我看到的東西說了。

我看的Kakutani不動點定理裡面的條件，對多值映射的要求不是上半連續而是用的閉圖像。當然在緊的情形下後者顯然蘊含前者。

而在Nash均衡的證明中用到的映射是閉的，這件事情是容易的，本質其實是個純拓撲的命題：

設 $X,Y$ 是兩個緊緻 $T_2$ 拓撲空間， $f$ 是 $X imes Y$ 上的二元連續函數。定義 $g$ 是 $X$ 到 $Y$ 的多值函數， $g(x)$ 是 $Y$ 中所有使得 $Y$ 上的函數 $f(x,y)$ 取到最大值的y全體，即

$g(x_0)={y_0in Y|f(x_0,y_0)=max_{yin Y}f(x_0,y)}$

則g有閉圖像。

(g其實就是題主說的最佳反應)

這個命題純用點集拓撲就能搞定。

第1個和第3個不等式都是由連續性得出的，第2個不等式是假設

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