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是否存在λ是正則值但λI-A的逆展成的級數1/λ*(I+A/λ+...)不收斂的情況？

01-16

謝邀，很難想像嗎？首先不提 $0in ho(A)$ 而我們可以取 $lambda=0$ 。就是不取 $lambda=0$ , 一般的情況，我們考慮

$X=mathbb{R},quad A x= x quad xin X;$

顯然任何非1值都是正則值,也就是屬於 $ho(A)$ ，但是如果 $0<lambda<1$ ,顯然，

$frac{1}{lambda}(1+frac{A}{lambda}+cdots)=frac{1}{lambda}(1+frac{1}{lambda}+cdots)$

不是收斂的。類似的，你可以構造出任意Banach空間上的反例。自己試試看吧。

這個問題太一般了，我自己給自己加個難度，是否存在一個運算元使得 $lambdain ho(A)$ 當且僅當

$frac{1}{lambda}(1+frac{A}{lambda}+cdots)$ .

設 $H$ 是一個希爾伯特空間， ${e_n}$ 是其中的完備正交系，設 ${alpha_n}$ 是複平面中單位閉盤 $Delta$ 中橫豎坐標都是有理數的點構成的集合，構造運算元

$A x= sum_{i=1}^infty q_n langle x, e_n angle_H e_n$ ,

不難發現 $|A|leq sup |q_n|leq 1$ .而且 $A e_n=q_n e_n$ 。於是 $sigma(A)supset {q_n}$ 由於 $sigma(A)$ 是一個閉集，那麼 $sigma(A)supsetoverline{{q_n}}=Delta$ 。另一方面，我們不難發現 $ho(A)supset mathbb{C}ackslash Delta$ . 因此，我們有

$ho(A)=mathbb{C}setminus A$ .

事實上你可以證明，任何一個緊集，你都能找到一個有界運算元的非正則集剛好是那個集合。

Compact sets as point spectrum of a bounded operator

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