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數據分析計量經濟學隨機過程

計量經濟學中，如果幾個數據都是 Random Walk，加起來還是 Random Walk 嗎？

01-16

謝題主邀。看定義。

比如有兩個過程：

$y_t=xi +y_{t-1}+epsilon_t$

和

$x_t=mu+x_{t-1}+e_t$

如果假設 $e_t,epsilon_t$ 與 $e_{t-1},epsilon_{t-1}$ 是獨立的，那麼 $e_t+epsilon_t$ 與 $e_{t-1}+epsilon_{t-1}$ 也是獨立的，所以

$z_t=y_t+x_t=xi +mu+z_{t-1}+(e_t+epsilon_t)$

也是random walk。

但是如果假設 $e_t,epsilon_t$ 與 $e_{t-1},epsilon_{t-1}$ 是不相關，那麼你要排除 $epsilon_t$ 與 $x_{t-1}$ 或者 $e_t$ 與 $y_{t-1}$ 相關的情況。

這個問題挺有意思。如果說隨機遊走是一個醉漢走路的路徑，那麼這個問題就是，兩個醉漢牽著手走路的路徑還是隨機遊走嗎？

補充一句，@慧航同學最後提出的那個問題可以通過閱讀下面這篇文章來增加了解：

A Drunk and Her Dog: An Illustration of Cointegration and Error Correction

如果這幾個數據是互相獨立的，那把他們加起來也是Random Walk。

設有兩數據 $X_1$ 和 $X_2$ ，如果它們互相獨立和是Random Walk，那

$dX_1 = sigma_1 dW_t$

$dX_2 = sigma_2 dW_t$

而 $sigma_1$ 和 $sigma_2$ 都是其標準差，而 $dW_t$ 則是Wiener過程的微分（ $dW_t propto mathcal{N} (0, dt)$ ），那麽：

$d (X_1+X_2) = sqrt{sigma_1^2 + sigma_2^2} dW_t$

那 $X_1+X_2$ 本身也是Random Walk。

可是如果 $X_1$ 和 $X_2$ 不是互相獨立的，那結論不那麽容易下了，樓上有人提到一個特例 $X_1=-X_2$ 便是一個好例子。但我想到很多情況下即使它們不互相獨立但它們的和仍是Random Walk，如 $X_1 = c X_2$ ，或 $X_2 = c X_1 + dW_t$ 之類。

簡單地說，隨機遊走是非平穩序列，但是隨機遊走的某個線性組合會是協整的，平穩的，也就是說是非隨機遊走的。

所以隨機遊走相加可能是隨機遊走，也可能不是，具體看數據是什麼樣的。

按照一定的方法加總就成為布朗運動。

我不知道計量經濟學裡面random walk的概念。

不過，幾個獨立的隨機變數之和，會逐漸變成符合正態分布。加的越多，越明顯。

實際上，三個均勻分布的隨機變數之和，就已經很正態了（《遊戲編程精粹7》裡面提到的小技巧）。

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