幾個點確定一個橢圓？

01-16

很泛的想了一下，兩個橢圓可有4個交點，故題中要求點數應大於等於4。那麼5個點是正確答案么？想找一個簡單漂亮的證明。

橢圓是二次曲線，最一般的表達式有6個係數，而方程整體乘以一個數是不改變曲線的，所以5個點（其中任意三個不共線）就可以確定一個橢圓。

在代數幾何來看，這是說P^2上O(2)的global section是6維的，再去掉一個scaling就是5維的。

平面上任意不存在三點共線的五點唯一確定一條圓錐曲線: http://en.wikipedia.org/wiki/Five_points_determine_a_conic

建議讀一下裡面給出的證明, 你會遇見 Veronese morphism.

兩個簡單推論:

1. 任一四點集, 均無法唯一確定一條圓錐曲線.

2. 假設一個n點集唯一確定了一個橢圓, 那麼這個n點集中的任意5點唯一確定這個橢圓.

提供另一個角度（不用坐標系）：

射影幾何中有一個重要的定理，Pascal定理，說的是任意圓錐曲線上的任意六個點，ABCDEF，考慮AD和BC的交點，AF和BE的交點，還有CF和DE的交點，則這三點共線（記該線為L）。

所以，給定五點ABCDE，我們可以「構造」出一個圓錐曲線過這五個點。首先，AD和BC的交點為M，過M作任一直線L，不難構出點F使得L為ABCDEF的Pascal線。當L繞M轉一圈，點F的軌跡即所求。

（射影幾何中的交點可以是無窮遠點）

不用方程，那就這樣想吧：

一個橢圓有5個自由度，怎麼來的呢？中心坐標有2個自由度；長軸取向有1個自由度；長短軸長度各1個自由度；一共5個自由度。

然後，平面上已知橢圓過某一個點，就減少了1個自由度，所以5個點確定一個橢圓。

用這種想法可以回答很多問題，比如三維空間幾點確定一個橢球(三軸長度可以不同)？答案是9個。推廣到維空間，答案是n*(n+3)/2個點。

值得指出的是，這裡所說的確定，只是從自由度的角度來說的，就是說方程數和未知數的數目相同，但不保證有解。比如，要是5點共線，那就不可能有橢圓同時經過它們了。

以上。

傻逼了，一般方程

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+1 = 0$

5個參數

只要5個點坐標帶進去ABCDE的係數向量線性無關，就能解出5個係數，當然有可能畫出來的不是橢圓......

高二中的時候，學習了至少3個點能定一個圓，然後問自己，幾個點能定一個橢圓，自己想不出答案，於是就問過老師這樣的問題，可他說我鑽牛角尖，說這樣的題設是不成立的。也受夠了同學的另眼相待，直到今天10多年過去了，我終於發現了答案，證明我的想法沒有錯，只是當時沒人能明白我罷了。謝謝你們給我了等了10年的答案。

兩條直線交於一個點，所以兩點確定一條直線；兩個圓最多可以交於兩個點，所以三點確定一個圓；兩條二次曲線最多可以交於四個點，所以五點確定一條二次曲線。