函數極限「ε-δ」這個定義，為什麼要先給定ε？

01-16

謝邀。
極限定義的關鍵在於epsilon可以任意小，而不是delta可以任意小。當然你直觀上會覺得delta會隨著epsilon的減小而減小，在大部分情況下這也是對的，然而我們可以考慮一個很無聊的例子——常數函數。對任意的epsilon，我就把delta恆取為1，那麼在delta區間內函數值的差恆為0，當然小於epsilon。
極限存在的直觀理解是：對任意給定的正數epsilon，總存在x0的一個去心鄰域（去心是為了排除函數值不等於函數極限的可去奇點這種例子），使得在這個去心鄰域內，函數的「振幅」（最大值與最小值的差，或者嚴格地說上確界與下確界的差）小於那個給定的正數epsilon。
如果你非要從delta(也就是那個去心鄰域的長度)去反推epsilon的話，那也可以，那話就應該這麼說：我考慮不同的delta，每個delta對應一個epsilon，就是函數在delta去心鄰域內的振幅（或者應該說是f(x)-A在x屬於delta區間上的最大值，即f(x)可以偏離A的最大偏差）；然後我總可以取到delta使得epsilon可以任意小，要多小有多小。所以關鍵點還是在於 epsilon可以任意小，epsilon必須是不受約束的，這也就是我們為什麼要先說epsilon，再說delta的原因。你一開始可能會覺得這種語序很彆扭，但仔細想想，就會覺得這種語序才是準確而又自然的，你要先說delta再說epsilon，就得表達"epsilon可以任意小"這個意思，反而不太好說清楚。

"這個定義的根本在於先給定f(x)與A的接近程度伊普西隆，而後根據這個定死的數得出x與x0的接近程度德爾塔。"
這是不全對的，定義的敘述是給定自變數 $x$ 和 $x_0$ 接近程度來控制 $|f(x)-A|<varepsilon$ 的。
證明時候才反之而行，這是因為定義敘述中的 $varepsilon$ 是「任取的」，所以證明時候也只得認為這是已給定的數，否則會破壞定義中「任意性」的描述。定義中沒有控制自變數的接近程度，所以在證明時候我們唯一有操作餘地的是接近程度 $delta$ 。
此外，「德爾塔=f(伊普西隆)」的理解也不太好。事實上， $x_0$ 、 $varepsilon$ 、 $f$ 都會影響 $delta$ 的選取。所以準確地來說， $delta =delta (varepsilon,x_0)$ 。如果 $delta =delta (varepsilon)$ ，那恭喜你，你的 $delta$ 是具有一致性（不受具體自變數位置的限制）的。具體概念你可以參考任意一本涉及「一致連續」的教科書。
你可以考慮以下函數的函數極限的定義證明：
$x^2$ 在 $x=2$ 處的極限
$sin x$ 在 $forall x_0$ 處的極限

我只強調一點，雖然可以從臨界狀態定義出一個函數 $delta=delta(epsilon)$ ，但對於極限而言，重要的並不是這個函數本身，而僅僅是這個函數在 $epsilon$ 取0附近的存在性。
你去琢磨它能不能在更大範圍內定義，精確表達式如何，以及可不可逆，本身就是把問題跑偏了。

樓上Yuhang大佬已經將 $varepsilon-delta$ 語言的數學意義闡述得很清楚了，這裡先做一點補充說明。
其實潛無窮之於實無窮的區別就在於它並不規定一個大於0而小於任何正實數的、可參與初等加減運算的「無窮小」，而是描述了一種因變數隨自變數變化而無限接近零的【趨勢】，這一思想最初由Cauchy提出，若干年後由Weierstrass公理化成為今天的 $varepsilon-delta$ 描述形式。

接下來回答你的問題。
首先，對於 $m{fixed}~varepsilon>0$ ，若 $exists m~{feasible}~delta>0$ 滿足題設，則非空集 $(0,delta]$ 上的任意正實數都隨之滿足題設，所以 $delta$ 有無窮多解，並不是唯一確定的。而且 $delta$ 的取值範圍還與你考慮的點 $x$ 有關，這個前面也有人說了。
我猜題主想問的是對於某個定義域上【固定的】連續點 $x_0$ ，令 $delta(varepsilon)= m{sup}left{ m{feasible}~ delta ight}$ ，（即，均取可行集的上確界），這樣 $delta(varepsilon)$ 就是個定義域內非嚴格單增的函數了，不過由於它是非嚴格的，所以未必存在反函數。
其實即使 $delta(varepsilon)$ 在定義域內嚴格單增，假設也不一定成立。添加連續可導的條件也不行。
例如函數 $f(x)=x^3-3x$ ，考慮定義域內的連續點 $x_0=0$ ，
$delta(varepsilon)$ （藍線右端為閉，紅線左端為開）：

根據題主的說法，

根據自變數與因變數的關係，是否可以調換過來，給定正數德爾塔，存在伊普西隆，利用德爾塔來導出伊普西隆，那這樣的話產生的新函數恰好是之前Y的反函數？

猜測題主所說的「調換過來」後的數學描述應該是（已令 $x_0=f(x_0)=0$ ）：
$forall ~{ m fixed} ~delta>0, ~exists ~{<br /> m feasible} ~varepsilon>0 ~~~{<br /> m s.t.} ~|x|<delta ~{ m forall} ~x:|f(x)|<varepsilon$
然後
$varepsilon(delta)={ m sup}left{ { m feasible} ~varepsilon ight}$
然而按此定義，函數 $varepsilon(delta)$ 在 $deltain(-sqrt{3},sqrt{3})$ 上恆為 $-infty$ （ $left{ m feasible ~varepsilon ight}$ 為空），這就顯然不是反函數的關係了。
還有就是Yuhang大佬說的常函數，如果採用前述上確界的定義，那麼
$delta(varepsilon)=infty,~~forall varepsilonge0$ ,
$varepsilon (delta)=infty,~~forall deltage 0$ .
也不是反函數的關係
如果令 $f(x)in C(-infty,+infty)$ 並且在整個域上嚴格單調，考慮固定的點 $x_0$ 倒是還有可能成立。如果成立的話證明起來應該也不難。

從根本上講，極限是一種猜測，而這種猜測的正確性，在於它不是錯的。比如說1/n→0 as n→+∞. 我說這個極限是正確的，你若讓我拿出來瞧瞧，我拿不出來，因為我也沒見過+∞長的什麼樣子，更不知道1/+∞。但是我知道的是：你無法反對我的結論，如果你說這個極限不是零，那麼請問是多少，你說多少都不行，因為任一個epsilon 大於零，總可以找到一個足夠大的n 使得1/n 小於這個epsilon. 從這個角度出發，我們必須要保證epsilon 的任意性，而且要先於delta.
即便如n→2 as n→2這樣簡單明了的極限也是這樣，我知道2在哪裡，但是我不知道2的附近是什麼，但是我用極限猜測一下，說，離2很近的地方也是2，我的猜測之所以正確是因為你無法反對我。
以上就是我認為 epsilon delta 語言作為極限定義的根本原因。
至於你說要找一個反函數云云，我認為是可以的，但是歸根揭底這個反函數的目的就是要歸結到 epsilon delta, 這個是祖墳。

這個問題挺繞的，我也琢磨好久。最後發覺繞是因為語義和語法習慣上的繞，數學表達方式為了嚴密性脫離了日常表達習慣。我們從基本常識出發，所謂連續就是緊密相鄰的兩個函數值之間的差異可以無限小，大概就是柯西要表達的意思。用數學語言表達最精確的就是現在的衣普西隆delta，翻譯成大白話就是：「不管你找到多小的衣普西隆，我都能找到一個區間，使得這個區間內的相鄰函數值之間差異比這個衣普西隆還要小」。加上「不管」、「多小」、「都」、「比…還要」這些我們慣用的語言，比「任意」、「存在」要容易理解多了。題主說的把衣普西隆delta倒過來「任意一個delta,存在一個衣普西隆…」我們翻譯一下試試看：「不管你在多小的區間內比較相鄰函數值之間的差異，我都能找到一個衣普西隆，使得函數值之間的差異比這個衣普西隆還小」。仔細琢磨一下，問題不少。首先跟前一個比較，「不管你找到多小的衣普西隆」變成了「我都能找到一個衣普西隆」。回到之前的常識定義，「緊密相鄰的兩個函數值之間差異無限小」要求的就是「不管你找到多小的衣普西隆」，那「我都能找到一個衣普西隆」算怎麼回事？答非所問啊。第二，即便在某些特殊情況下，二者可以等價（如題主討論的delta與衣普西隆之間有函數反函數關係），我們也沒有必要繞那麼大彎子，把自己都繞暈了，何況仍然可能有不等價的情況存在，把問題引向複雜化了。以上是最近重溫數學分析的一些隨想，僅作參考。

那末可以得出唯一的一個德爾塔與伊普西隆相對應，這樣的話是否存在一個新的函數德爾塔=f(伊普西隆)？這個新函數後面我用Y代替。
在episilon確定的情況下才能給出δ，這裡有一個一瞬間理解連續和一致連續的方法
連續裡面，δ實質上是一個關於episilon和x的二元函數δ（episilon，x），uniformly continuous裡面，δ是一個只和episilon相關的函數δ（episilon）
如果根據自變數與因變數的關係，是否可以調換過來，給定正數德爾塔，存在伊普西隆，利用德爾塔來導出伊普西隆，那這樣的話產生的新函數恰好是之前Y的反函數
不是的，不是什麼函數都可以找到反函數，首先你要證明逆函數存在

而且我之前說了，這是個episilon和x到δ的函數：R^2 到R....這樣的函數的逆函數怎麼定義和是否真的存在= =反正我沒有了解過不清楚，起碼在基礎的分析里學的逆函數存在定理不足以解決這樣的問題
這種水平的答案貽笑大方 = =先匿了

思維上還是沒有從靜態到動態，那個給定的數是變化的任意給定的，不是定死的

變數X的極限是A，意思是指X在變動過程中，會有一個穩定的狀態，即和A的距離任意小，任意小是指無節制、無限度的小，不管你預先給出一個自認為是很小的量，都可以找到一個比之更小的量。
極限說的是對於每一個依普西弄&>0，總有某個時間點，在這個時間點以後，X和A的距離小於我們事先給出的依普西弄。那麼是不是存在一個這樣的時間點，使得這個時間點以後的變數值與A的距離會小於我們事先給出的每一個正數呢？反例是很容易找的，比如1/n就不行！
回到函數的極限，這其實和變數的極限是一樣的，只要注意時間是由X和X0的距離控制就可以了。

讀一些關於這部分的數學史。再多做些利用極限定義的證明題自然會提高理解度。

ε-δ語言的ε和δ不是一一對應的，因為假如你取了一個δ=f(ε)，對於任意小於δ的數δ_1，結論都成立。
這個語言的本質是用有限去理解無窮，從而使得無窮可以被人類認識，不得不說是魏爾斯特拉斯的一個偉大發明。

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