為什麼九宮格順或逆時針任選 6 個數字都能被 37 整除？

01-16

按計算器 1-9 的數字排列
從任意數字開始以順時針或逆時針的順序依次按出一個六位數構成矩形
為什麼所有按出的 6 位數都能被 37 整除?

我寫個簡單點的總結版，第一，111是37的倍數，所以aaabbb這樣的數都是37的倍數；第二，012210是111的倍數，所以前三位和後三位各自成相同公差等差數列的也都是111的倍數（考慮一個aaabbb的數，加上12210乘以公差）；最後，999999也是111的倍數，所以如果abcdef是111的倍數，加上999999*f，得到fabcde0，進而說明fabcde也是111的倍數，所以鍵盤上按出來的都是111的倍數，也就都是37的倍數了

有時候我覺得Zhihuer觀察力都是神級的,想我當年也是計算器玩壞好幾個的人,怎麼就沒發現這個呢...

作為這個月以來唯一不是作業釣魚的提問, 我就認真回答吧.

這個問題非常有趣.

$color{blue}{大家先玩一下找找反例}$

我會給出我完整的思路,而不單單是解答.

表面原因

37是個很有趣的數字.

首先 $999=3^3×37$ ,這就給出了一種判斷37倍數的方法.

一個數三位三位反覆累加,如果最終的三位數能被37整除那麼原來的數字能被37整除.

是不是和 $3$ 的倍數的判斷有點像?正常, $9=3^2$ 嘛.

引證一
Trivial !!!

其次能被37整除的 $3n$ 位數都有循環整除性.

引證二: 以三位數為例
設三位數為 $overline{abc}$ ，用表達式表示為： $overline{abc}=100a+10b+c$ ，
因為是37的倍數，則可表示為: $100a+10b+c=37k,kinmathbb{Z}$
這個數乘11得 $1100a+110b+11c=11×37k$ ，它仍舊是37的倍數
另一方面三位數 $overline{cab}$ 可表示為： $100c+10a+b$ ，
這個數與 $1100a+110b+11c$ 的和為:

$1110a+111b+111c=111×(10a+b+c)=37×3×(10a+b+c)$
因此 $overline{cab}$ 也是37的倍數, 同理 $overline{bca}$ 也是37的倍數.
同理可證 $3n$ 位數都有這種循環整除性.

整除3,6,9的時候這個性質也能叫全排整除性...

其他就沒有了,只能循環整除了.

實際原因

以上是我本來就知道的, 雖然這麼解釋有點怪怪的

怎麼計算器的排列正好就能排出這麼個數呢?

但是當我真的打開計算器開始玩之後我發現上面被表面現象所迷惑了.

我們來透過現象看本質.

我可愛的數位板壞掉好多年了,線條湊合著看吧...

按照題主的說法.

如圖紅線選擇三個數字,896,後面可以接325或者547.

可以驗證,這兩個都能被37整除

$egin{aligned} {color{red}{896}} {color{blue}{325}}/37 = 24225\ {color{red}{896}} {color{blue}{547}}/37 = 24231\ end{aligned}$

然後我突然想到,選214會怎麼樣?

也可以?那658呢?也可以?!

$egin{aligned} {color{red}{896}} {color{green}{214}}/37 = 24222\ {color{red}{896}} {color{green}{658}}/37 = 24234\ end{aligned}$

そうですね,我思路可能跑偏了...

用我之前說的那種判別法試試:

$egin{aligned} {color{red}{896}}+{color{blue}{325}}=1221 o222\ {color{red}{896}}+{color{blue}{547}}=1443 o444\ {color{red}{896}}+{color{green}{214}}=1110 o444\ {color{red}{896}}+{color{green}{658}}=1554 o555\ end{aligned}$

都是111的倍數? $111=37×3$ ,自然也是37的倍數.

說的是呢,我思路確實跑偏了...

$999=111×3^2$ 於是整除性質與 $37$ 相似.

考慮這樣一個數陣:

$egin{array}{lll} square a a+1 \ b+2 square a-2 \ b-1 b square \ end{array}$

這個數字是: $overline{a(a+1)(a-2)b(b-1)(b+2)}$

它的三分數位和是:

$egin{aligned} 100a+10(a+1)+(a-2)\ +100b+10(b-1)+(b-2)\ =111a+8+111b-8\ =111(a+b)\ end{aligned}$

哦!!!原來如此......

如果前三個數是 $overline{a(a+p)(a+q)}$

那後三個數就選 $overline{b(b-p)(b-q)}$

於是六位數 $overline{a(a+p)(a+q)b(b-p)(b-q)}$ 必定能被3,9,27,37,111整除.

且有循環整除性!

等等,還沒結束, 這和手機的鍵盤排列有關嗎? 隨便換一個數陣都成立嗎?

考慮這樣兩個數字,957 486, 301 153.

$egin{aligned} {color{red}{957}}+{color{red}{486}}=1443\ {color{blue}{301}}+{color{blue}{153}}=454\ end{aligned}$

$301 153$ 無法整除 $111$ ,為什麼呢?

因為原來的鍵盤排列是等差數陣啊

你想想0的正確位置是哪?

3下面!

一個數陣如果能保持平移不變性,旋轉不變性,鏡像不變性,那才可以有這個神奇的現象!

顯然等差數陣滿足這個條件.

當然有些循環數陣對於某些模式也滿足條件.

$egin{array}{ccccccccc} color{red}1 2 color{red}3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 color{red}3 4 color{red}5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 color{red}5 6 color{red}7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \ end{array}$

練習題:
考慮一個數前六位是133557,你能寫出後六位使得這個12位數能被37整除嗎?

先分析一個簡化模型吧：選4個數字畫一圈也能被11整除。

九宮格總是滿足一個規律的：

右移一格，數字+1；上移一格，數字+3。

也就是說，如果順時針畫圈，四個數字就是「... +1 -3 -1 +3 ...」循環中的任意一段；

反之，逆時針畫圈，就會處於「... +1 +3 -1 -3 ...」循環。

不妨設起始數字就是x。

順時針畫圈情況下，可以寫出全部四種四位數字可能的形式：

1000x+100(x+1)+10(x+1-3)+(x+1-3-1)
1000x+100(x-3)+10(x-3-1)+(x-3-1+3)
1000x+100(x-1)+10(x-1+3)+(x-1+3+1)
1000x+100(x+3)+10(x+3+1)+(x+3+1-3)

破開括弧就是：

1111x+77
1111x-341

1111x-77
1111x+341

逆時針畫圈的四位數字則是：

1111x+143
1111x+319
1111x-143
1111x-319

顯然都可以被11整除，並得到：

101x+7
101x-31
101x-7
101x+31

和

101x+13
101x+29
101x-13
101x-29

回到題目選6個數字畫一圈的要求。圈的畫法有順豎、順橫、逆豎、逆橫四種，每種畫法又有六個可選起始位置，共計36種可能。為了省事我就不窮舉了，僅選1種可能作為範例：

100000x+10000(x+1)+1000(x+1-3)+100(x+1-3-1)+10(x+1-3-1-1)+(x+1-3-1-1+3)

（順橫式中上起筆，即563214式）

破開括弧後：

111111x+7659

是可以被111整除的，結果為：

1001x+69

不論怎麼畫，111111x是不變的。這一部分能夠被整除是必然事件。

而常數部分，就拿這個範例看，實際上是：

11111*(+1)+1111*(-3)+111*(-1)+11*(-1)+1*(+3)+0*(+1)

看到了沒？因為畫法符合「... +1 -3 -1 -1 +3 +1 ...」的規律（這是順橫式的，豎式和逆時針同理），每六個數一個周期，而每隔過兩個數，就可以湊一對做抵消。

抵消的這一對數相差三位，所以總會剩下一個111，或1110，或11100。

範例的常數部分變成：

11100*(+1)+1110*(-3)+111*(-1)

豈有不被111整除之理。

對了，最重要的放在最後：

37*3=111。

追加：

掌握了這個規律後，其實多大的圈都不在話下，題主甚至能在電光火石之間「算」出：

47896321是1111的倍數。

在 $mathbb{Z}/37mathbb{Z}$ 這個加法群里, (0到36, 37個元素), 定義變換 $au:x o10x$ , 這個加法群在 $au$ 這個變換下, 0還是為0, 其他元素都分別形成了3輪換的結構, 一共12組, 比如 $(1, 10, 26)$ (1和10都小於37, 100除以37的餘數是26, 1000除以37的餘數又是1), 現在我們來看任意一個能被37整除的6位數. 不失一般性的, 拆成a*100000+b, a是這個數字的首位, b是餘下來的位數組成的數字, 如果把a寫到b的後面,新的數字是b*10+a, 新的數字除以37的餘數是 $(amod37)+(b*10mod37)=\ au^{-5}(a*100000mod37) + au(bmod 37)=\ au(a*100000mod 37)+ au(bmod37)=0$

因為 $au^3=id, au^{-5} = au$ , (實際上只需要 $au^6=id$ 就行,也就是能整除999999), 所以任意能被37整除的6位數,循環移位以後還是能被37整除. 另外任意能被3, 7, 11或者13整除的6位數, 循環移位組成的數也能被3, 7, 11或者13整除, 素數里就這5個有這種性質. 舉例比如117817, 它循環移位和逆序組成的數都能被7整除. 123475, 128973的循環移位和逆序分別能被11和13整除.

要滿足逆序也能被37整除的話, 如果這個6個數字分別是a,b,c,d,e,f, 只需要滿足 $au(a+d)+b+e+ au^2(c+f)mod 37=0$ 就行了. 最簡單的,令a+d=b+e=c+f=k, 那麼 $k+ au(k)+ au^2(k) = 0 mod 37$ ,因為111能被37整除.

補充一下 @醬紫君的答案，實際上我們可以把這個問題轉化為111的倍數性質（111=3*37）

能夠被111整除的數的性質和被11整除的數的性質類似，而後者大家應該都還記得，是不同奇偶位上的數字分別相加。對於一個整數X來說，它的數位上的數字我們可以以三個為一組分開

個位千位百萬位…

十位萬位千萬位…

百位十萬位億位…

分別有三個和，記作A，B，C

X與（A+10B+100C）關於111是同餘的，那麼在ABC不太大的情況下（本題就適用！）。

我們認為X是111的倍數與ABC三者相等等價

/反例：A=11，B=0，C=1比如6105。

因為這是我看到題目之後現湊的證明…

如果嚴格說明需要保證ABC沒有相差太大

/再次補充：這裡應該不需要證明等價，證明ABC全等=＞X是111的倍數。

回到計算器網格上，我們把計算器的按鈕視為矩陣的話A(i.j)=A(0,0)+i+3j，往不同的方向走分別加一或加三。

所以不管這六個數怎麼取（順時針逆時針或者從哪開始）最終取出來的都是以這六個數中對稱位置（中心對稱）的數的和，來作為最終得到的六位數的ABC。

而這樣要證明ABC相等是十分簡單的。

碎碎念：高中的時候數學競賽只做了一些，解數學題的習慣相當之功利…畢竟最後上得不是數院…感覺其實頗微妙，大概是那種技和道的感覺，但還是腆顏把自己的解法放出來，增加討論氛圍（你想多了知乎不會有多少人關注數學的）

另外…本來是想爬樓梯鍛煉的同時順便把答案敲完的，結果怎麼不知覺的到了頂樓（33）…

@醬紫君大佬的回答已經把該說的都說了，我這個回答，權當拋磚引玉，順便降低一下理解難度。

畢竟哈gay大學子，規格嚴格，功夫到家233

看到37我第一反應是乘以3等於111，「算得快」上學的。

作為一名程序員，首先想到的一種形狀就是

179632

嘛，畢竟矩形嘛，又沒說一定要對稱對吧......

結果腦子笨的要命的我直接繼續敲了 / 111

發現不對啊不能被37整除啊，難不成有BUG？！！

然後就是無數次嘗試，有對的形狀和不對的形狀，期間，題主所說的矩形只是其中一個特徵罷了，我曾敲出過菱形，梯形，DNA型(就是 @醬紫君回答里的蛇形~)......

好吧，我是一個窮舉患者，具體過程沒什麼高深數學論，就不一一列舉了，直接上觀察總結好了...

既有結論

111是37的倍數(被打死了)

前三位 x x+y x+z 即 100000x+10000(x+y)+1000(x+z)

後三位 x" x"-y x"-z 即 100x"+10(x"-y)+(x"-z)

(補充: 其實題主所說的逆/順時針的感覺就是這個前後三位每位之間的微妙差所構造導致的)

其中x"=x+a

統合算出全六位表達式

111111x+111a+9990y+999z

啊，一看你就是111的倍數啊~

是的，只要你能滿足以上條件，並且把位數依舊控制在6位上以滿足題主的「任意6個數字」的要求，就一定是37的倍數

糾正一下，九宮格是數獨的前身，格內所填數字需要滿足每行、每列、兩對角線之和是15的要求，而不是簡簡單單的數字排序。個人認為，這種簡單數字排序是對九宮格傳統架構思想的破壞，也少了數字組合的美感，題中的九宮格顯然應該改為計算器數字鍵盤更妥當。

看回答裡面的都是大牛啊。我這個學術小白就唯有乖乖看著了，可能網zhuan才適合我吧。