量子力學與積分方程有何聯繫？

量子力學的奠基人Heisenberg說過：「量子力學的數學方法原來就是Hilbert積分方程理論的直接應用，這真是一件特別幸運的事情!」

而Hilbert深有感觸地回顧道：「無窮多個變數的理論研究，完全是出於純粹數學的興趣．我甚至管這理論叫「譜分析」，當時根本沒有預料到它後來會在實際的物理光譜理論中獲得應用」。

本渣並非物理專業，但對Hilbert空間，Banach空間算是了解。至於閉圖定理，開映射定理，共鳴定理，延拓定理就不甚了了，僅有一面之緣，從未用過。對量子力學求知慾望強烈，想請相關專業人士舉幾個例子、例子、例子說明一下量子力學同泛函分析的聯繫。尤其是該學科與自伴運算元、積分方程的聯繫。

積分方程在散射問題和多體束縛態問題里會碰到，比如著名的Lippmann-Schwinger方程。

量子力學和積分方程沒太大直接關係，只不過後者是泛函分析的先驅而前者的數學理論是建立在泛函分析上的。

量子力學和自伴運算元的關係就太多了，因為力學量對應態空間（是一個可分的希爾伯特空間）上的（一般來說無界的）自伴運算元。

由於題主自述量子力學沒有什麼基礎，要講清楚就說來話長了…建議找一本課本入門。一般我會推薦格里菲斯的那本，但是如果有泛函分析基礎的話，應該有更合適的入門書，不過不是很清楚了…

謝邀。

不知道題主量子力學的基礎有多少。如果純粹感興趣想入個門，建議從最基礎的看起，完全不需要什麼泛函分析。任何大學的量子力學課程或是教材都不怎麼涉及泛函分析。90%物理系的大學本科畢業生都沒接觸過泛函分析。

如果題主已經有足夠的基礎，想深入研究量子力學，或者想研究量子統計力學等等領域，那借用泛函分析這樣的數學工具會很有幫助，畢竟量子力學嚴謹的數學表述是建立於泛函分析之上。舉例子的話，比如遇到奇異積分方程里的運算元（無界的），可以引入閉合稠定線性運算元和相應理論。至於自伴運算元，Hilbert空間里物理可觀測量是自伴運算元本徵值，還有相應的譜定理等等。直接去找馮諾伊曼的《量子力學的數學基礎》，如果真的需要就好好去讀這本書。