格林函數的物理意義是什麼？

源函數，關聯函數，傳播子。。名字太多了。。

核心就是點源和疊加原理。。

從數學上講就是一個點源在確定邊界條件下的數學物理方程的解，然後特別的非齊次方程的解就可以寫為非齊次項以格林函數為核的積分變換。。

從物理上講，就是我們知道了點源的場，那麼對於給定的源的分布，我們就可以從疊加原理寫出這個源的場。。

在物理學中，有大量的帶有邊界條件或初始條件的非齊次微分方程。這些微分方程實質上是在描述源與場的關係，有一種不錯的方法叫做格林函數法（等吃完栗子，再來說什麼是格林函數法），求解所得的函數叫作格林函數，格林函數實際上也就是對應一個場。

一般而言，微分方程也就這樣求

上栗子

• 無界空間

有一塊不規則的帶電體，電荷密度為rho(r")。注意：這裡是任意分布的場源，關鍵所在。

它在空間中會激發電場，在空間r處產生的電勢為（無限分割再疊加）

其中 表示的不僅僅是矢量，而且還是體積元。空間某一點的電勢由電荷密度分布唯一決定。

• 有界空間

現在給它來一個邊界，邊界上可能出現感應電荷，這個時候r處電勢是源電荷與感應電荷的電勢之和。

電勢也變為源電荷和感應電荷的總效果

思路

我們知道無邊界條件問題有解但不唯一，給定邊界條件就可以使問題有唯一解。

如何通過點電荷電勢疊加，求得任意分布的電荷密度、任意邊界條件下的電勢？

那麼問題來了，我們要怎樣的邊界條件

對於定解問題，我們給出一般性的泊松方程

現在，我們就是要借用定解問題求解

上式是電位的泊松方程

給一個邊界條件

u(r)就是我們要求的解

好了，到現在為止，我們差不多有了技術思路。我們的現實問題就轉化為用rho(r)、f(sum)、G(r,r")來將u(r)表示出來。

數學工具

格林公式

第一類格林公式

由高斯定理可得

( 設u(r) 和v(r) 在 T 中具有連續二階導數，在 上有連續一階導數。 )

將上式u、v交換得

兩式相減得第二類格林公式

，此式X u(r)

,此式X G（r,r"）

兩式相減整理(利用格林公式)可得

第一項u(r)在邊界處的值已知為 , 未知，所以我們需要一個適當的條件。

這個適當條件就是

以上這段就是格林函數方法。如果不明白，評論區討論。

格林函數的本質是一種分解，是一種關於源所在位置的分解。

以靜電場Green『s Function為例

首先格林公式中含有一個 delta函數， 這實際上是對源整體做的分解。

在含有 的體積元的都取1，在不含 的體積元都取0，這個過程類似於正交函數系的性質，我們可以視作 與 是「正交」的。

此後將各個點源乘以對場的貢獻權重，在以線性疊加（積分）加和遍得到。

含時的格林函數就是再對時間分解一遍。

說是點源的響應很貼切。

格林函數就是「影響函數」，描述的是一個點處的擾動對另一個點的影響。數學上說，這麼做是因為線性微分方程的疊加定理。

例2-關聯函數。一個在x處的自旋反轉，經過熱力學平衡後在y處的自旋也反轉的概率就能寫成格林函數。

狄利克雷核，菲涅耳核，高斯核等等，都是點源引起的場的分布。所以核=點源影響函數=脈衝響應。有時候也被稱作為格林函數。

中間積分的東西就是表示的 位於zeta處，強度為phi的點源在x域產生的場。 對他積分就是全部點源產生的場的分布。是對線性系統使用疊加原理的結果。