能不能把泛函簡單地理解為函數？

01-15

泛函應該就是從任意的向量空間到標量的映射，而多元函數也是將一個高維向量映射到標量。所以我覺得泛函跟函數還是比較像。

-----補充了幾個有趣的泛函反例-------

謝邀。這樣不是完全不行，但是之所以用「泛函」這個詞是因為它有它的特殊性。它的性質和一般多元函數的差別是非常非常大的，你一定要意識到這點。隨便舉一個例子吧，連續函數在有界閉集上可以達到最大最小值，連續泛函做不到。下面是實際例子：

$X=C[0,1]$ , $F(f):=int_0^1 f^2(t) dt$ ,這個泛函 $F$ 是連續的，但是在有界閉集 $V={|f|leq 1, f(0)=0,f(1)=1}$ 上不能達到最小值。取 $f_n(t)=t^{n}$ , $F(f_n)=frac{1}{2n+1}$ ,所以最小值為0，但是 $F(f)=0implies f=0$ , $f otin V$ 。

根本的原因在於一般的拓撲向量空間比有限維的歐式空間差多了。你認為函數成立的結果基本不可能簡單的遷移到泛函，實質在於拓撲性質的畸變。

再補充一個區別吧，歐式空間上任何線性的函數肯定是連續的，但是線性的泛函不一定是連續的。設 $P$ 是所有多項式構成的空間，給予範數 $|p|=max_{-1leq xleq 1}|p(x)|$ ，注意這裡我們讓多項式可以定義在整個實軸上，取泛函 $F(p)=p(3)$ ，自然它是線性的泛函，但是它卻不是連續的，實際上我們取 $p_n(x)=(frac{x}{2})^n$ ,顯然 $|p_n| o 0$ ( $n oinfty$ ),但是 $F(p_n) oinfty$ .

再再補充一個區別，一個連續函數在單位球上肯定是有界的，可是一個連續泛函卻不一定啊！設 $c_0$ 是所有收斂到0的數列 ${x_n}$ 的集合，這個空間上的範數為 $|{x_n}|=sup_{n}|x_n|$ ,我們定義泛函

$F({x_n})=sum_{n=1}^infty x_n^n$ ,這個泛函是連續的，但是我們可以卻可以取 $e_n=(1,1,cdots, 1,0,0,0)$ （也就是前n個全是1，後面都是0）,那麼這個情況下 $F(e_n)=n$ ,所以在單位球上它是無界的。

之所以數學家給泛函一個名字是因為它很特別，但是用得比較多，比如一個拓撲向量空間上所有線性連續泛函構成的空間對刻畫這個空間具有非常大的作用，每次都說「無限維的函數」，不如「泛函」經濟省力得多，可以拯救很多樹和體能。還有，你把泛函看成「函數」沒有什麼特別的優點，還不如把多元函數看成一個泛函的特例。

簡單介紹一下一些常見的，而初學者看起來比較高深的概念。

函數是一個特殊的關係：對於集合A中的任何一個元素，集合B中都有一個元素與之對應。

如果集合A，B都是實數集（或子集），那麼就是我們平時一般說的函數
如果集合A是向量空間，而集合B是實數集，那麼就是我們所說的多元函數
如果集合A是函數集合，而集合B是實數集，那麼就是一般說的泛函。當然集合A還有其他更一般的定義方式。
如果集合A，B是函數空間，那麼這個時候就成為運算元。比如微分運算元把一個函數對應為其導數、積分運算元，等等。

由於任何一個實數，我們都可以看作是一個常數函數。所以函數的定義域是實數集的話，我們也可以看成是一堆常數函數的集合。那麼按照定義也是泛函。可見，泛函的定義更加廣，包含了一般的函數。所以泛函有的性質，函數有。而函數有的性質，泛函不一定有。

同樣的道理，把值域裡面的數看作常值函數，那麼泛函也是運算元。另外一提，《泛函分析》這門課有點」名不符實「，其討論的對象其實是運算元。

綜上，函數，泛函，運算元，所討論的對象是一步步擴大的，而不是反過來。

映射：集合→集合（任一自變數，都有唯一的因變數與之對應，就是排除集值映射）

集合+一定結構＝空間

比如（X,+,?）是線性空間，（X,Σ,μ）測度空間等。

運算元：空間→空間，的映射

泛函：空間→數域，的映射

函數：數域→數域，的映射

其實這種思想是變分的思想，比如最短路線問題就是從路線空間到標量的函數。但是一般的比如Banach空間吧，結構可就沒歐式空間那麼好了，首先拓撲結構差一些，比如喪失緊性，但還好，有弱拓撲補充，其次微分結構也有一些困難，這就導致無窮維空間上導數的多種定義，具體的就請參見變分學的書吧，但這條路的確是可以走通的。

看了高票回答，感覺收益良多。

斗膽補充幾句，僅供參考，大佬們勿噴。

泛函之所以有別於函數，更多在於是對定義域的推廣(這裡我們將討論完備空間)。

誠然泛函亦為一種映射關係，但其定義域不再是簡單的R或R^d，而會出現無窮維的情形。

那麼無窮維與有窮維會有什麼不同呢。

一個典型的區別就是，有窮維中的任意有界集合必然列緊，這就是我們常說的Bolzano-Weierstrass 定理。但在無限維中並不存在這樣的性質！

扯遠點，如果定義域自身作為空間有一定的相對良好的性質的話，可以相對的去弱化所謂的列緊性，比如定義域自反(常見的比如物理學經常會涉及的Hilbert Space)，我們可以得到有界集具有弱列緊性的結論。

或者說我們可以將我們研究的性質再減弱比如*弱列緊，那麼我們只需空間完備即可。

看吶，維數的不同將會影響定義域的拓撲性質，這將會大大影響我們所討論的映射(這裡指泛函)的性質，使得一般的泛函與一般的多變數函數產生差異。

通常說的函數，是定義在數域的子集上的，數域是有限維的，即使是多元函數，一般也是定義在有限維空間上的；而一般的泛函通常是定義在無窮維空間上的，很多性質就不像有限維情形下這麼好了，很多有限維時很好的性質在無窮維時不成立，所以發展這一套理論研究在無窮維空間上的性質。。。有點語無倫次，大概意思是這樣。。。

自變數是函數的函數是泛函。