有沒有根據期權 Payoff 圖形的斜率和轉折點來複制 Payoff 的方法？

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比如這兩張圖上的方法原理是什麼？

我做過一個暴力解法的複製工具。你設定不同價格下的payoff的最大值和最小值（通過手動畫曲線設定），甚至連Greek 也可以預設，還可以設置n天以後的payoff(假設vol順著曲面往下滑），我幫你算能達到要求最便宜的組合。

其實本質上就是個線性規劃問題，在payoff曲線上取樣，之後就可simplex完破。這玩意沒成為彭博的收費功能真是奇怪。

難點主要在細節。bid, ask，流通性之類的東西。

瀉藥，說來說去還是把2015的小尾巴留在2016來寫。

當然可以，主要原理就是put-call parity簡單說就是ps=ck(不考慮貼現的話

但是只是方法的話，簡單來說就是根據斜率搭積木。所以要先明確你手上有哪些形狀的積木，也就是斜率是什麼，也就是每種資產隨St的變化。

債券，更準確的說是零息債。payoff不隨股票價格變化，所以斜率是0。(額，我覺得也可以是現金吧

遠期，long方的話，股票漲一塊，遠期漲一塊，斜率是1，short方就加負號。

期權，不行權的時候，payoff當然是0，行權的時候是正負1，注意要看時long方還是short方，call還是put。不過題主的圖裡用的是calk咩，那就是拐點，也就是行權價左邊不行權，所以斜率是0，右邊斜率買方是1，賣方是-1。

積木準備好以後就可以開始搭啦。

從St=0開始，也就是初始資產，那個跟y軸的焦點怎麼辦？用債券咯，畢竟股票價格為零的時候期貨也是0，也沒見過這時候就有payoff的call。所以剛開始是多少正資產就是long多少債券，負的就是short就是融券咯

這時候的斜率誰可以來貢獻呢？遠期，因為call在行權價左邊是不會有斜率的。遠期斜率是1，所以根據要複製的payoff自行選擇係數，也就是買賣的份數。

然後呢？遇到拐點就說明有新的積木。但是又要不改變拐點之前的斜率，怎麼辦呢？用拐點對應的股票價格做行權價，買賣對應的期權，斜率是1……份數的確定要考慮遠期斜率的影響，也就是比如斜率從1變成了2，那麼份數應該是2-1

後面再遇拐點都同上，但份數應該是根據斜率的變化值。

直到斜率不變。

圖長這樣……隨手畫的，請表打我(=?ω?)?

總之，你想搭成什麼都可以，只有你想不到的沒有做不到的。但是畢竟這裡只是payoff，沒有考慮期權費，沒有考慮手續費，現實中就很難隨意複製了。(不過怎麼覺得這並不是CFA重點呢，至少我學那年不是

新年快樂，搭得開心。

以上

給一個數學上一般一點的方法。

由於有put-call parity, 所以其實只要你能夠買賣任意strike的call, 再加上foward contract以及bond就能夠完全複製任意payoff是continuous piecewise 2nd-order derivable function的derivatives. 結論對put也成立。

這個一般的方法要利用到call的payoff的一個特徵。

首先引入2個函數：

Heaviside Theta Function: $heta(x) = 0$ if $x < 0$ , $heta(x) = 1$ if $x geq 0$ .
Dirac Delta Function: $delta(x)$ 這個不再贅述.

Dirac Delta Function是Heaviside Theta Function的一階導數。

我們注意到call的payoff的1st-order derivative是Heaviside Theta Function, 從而2nd-order derivative就是Dirac Delta Function. 而對於任一個函數，都可以表示成：

$f(x) = int f(y) delta(y-x)dy$

因此，我們可以有以下的方法：

對於payoff為 $q(x)$ 的一個derivative, $q(x)$ 為一個continuous and piecewise 2nd-order derivable function, 考慮 $q^{prime prime}(x)$ , 可以得到

$q^{prime prime}(x) = int q^{prime prime}(y) delta(x-y)dy$

從而：

$q^{prime}(x) = Q_1 + int q^{primeprime} (y) c^{prime}(x-y) dy$

也就是：

$q(x) = Q_0 + Q_1 (x - F) + int q^{primeprime} (y) c(x-y) dy$

這樣，就完成了複製。其中 $Q_0$ 對應bond, $Q_1(x-F)$ 對應forward contract( $F$ 是forward price), $int q^{primeprime} (y) c(x-y) dy$ 對應不同strikes的call, $c(x-y)$ 前的係數為正則是long position, 為負是short position.

舉一個簡單的栗子, butterfly spread, 易知：

$q^{prime prime}(x) = delta(x-x_1) - 2 delta(x-x_2) + delta(x-x_3)$

$q^{prime}(x) = heta(x-x_1) - 2 heta(x-x_2) + heta(x-x_3)$

$q(x) = c(x-x_1) - 2 c(x-x_2) + c(x-x_3)$

所以只要long strike為 $x_1,;x_3$ 的call各一個，再short 2個strike為 $x_2$ 的call即可，本例中不需要bond和forward contract.

Remark:

從上面的積分能看出，對於不是piecewise linear的payoff, 需要無窮多的call才能複製；對於piecewise linear的payoff, 用有限多的call即可。
如果只能買賣call以及bond, 用有限多個call無法複製出一個forward contract, 不過如果同時能夠買賣put, 就能複製出forward contract了。
以上討論在數學上不夠嚴謹，但是基本思想就是這樣了。