無阻尼自然震蕩角頻率和阻尼震蕩角頻率是什麼東西。有什麼物理意義。請以電路系統或者物理運動系統為例。?

01-15

無阻尼：

例如一個掛在彈簧上的物體，能列出方程： $mfrac{d^2x}{dt^2} = -kx$ （設平衡位置x=0）。

它有解： $x = Acosomega _0(t+B)$ ，這裡w0的平方等於k除以m。

這個w0就是無阻尼自然震蕩角頻率。但是好像還看不出什麼特別的，我們就讓討論的情況複雜一點： $mfrac{d^2x}{dt^2} = -kx + F(t)$ ，F(t)是外力，是時間的函數。

為討論方便，我們取 $F(t) = F_0cosomega (t+C)$ ，然而必須注意，這裡的w不一定等於w0，w是在我們控制之下的，可以用不同頻率的外力迫使物體振動。

它有解： $x = frac{F_0cosomega (t+C)}{m(omega _0^2-omega ^2)}$ 。

嗯，這裡就可以比較清楚的知道無阻尼自然震蕩角頻率的物理意義了：系統振動的頻率為力的頻率w，而幅度不僅與w有關，還與固有運動頻率w0有關。

有阻尼：

我們把問題變得更加複雜，加上與物體速度成正比的摩擦力，摩擦力f = -c dx/dt = -mr dx/dt： $mfrac{d^2x}{dt^2} + mgamma frac{dx}{dt} + kx = F(t)$ 。

它有解： $hat{x} = frac{hat{F}e^{iomega t}}{m(omega _0^2 - omega ^2 + igamma omega )}$ ，這裡^x、^F為複數，即設 $hat{x} = x_0e^{-iD} ,hat{F} = F_0e^{-iE}$ ，我們僅關注他們的實部。可以看到它還與w0有關，除了相位有點變化，其它和上述討論差不多。具體的物理意義不多說了。

與無阻尼第一個例子相對應的，如果我們我們在某個瞬間撤掉F(t)，即： $mfrac{d^2x}{dt^2} + mgamma frac{dx}{dt} + kx = 0$ ，我們得到一個解，他是幅度指數衰減的的振蕩，振蕩頻率(w0^2 - r^2/4)的平方根，寫出來是這樣的： $x = Ae^{frac{-gamma t}{2} }cos[(sqrt{omega _0^2 - frac{gamma ^2}{4} } )t + G]$ 。

細心的龐友可能會問，為什麼要取 $F(t) = F_0cosomega (t+C)$ ？

嗯，這是因為傅里葉變換的關係，我們可以把基本上我們用的F(t)分解成許多項形如上式的加權和，這樣，因為方程是線性的，解也是這樣許多項的加權和。

以上思路來自《The Feynman Lectures on Physics》。

首先題主要明白什麼是角頻率( $omega$ )