怎麼證明任一線性空間都有一組Hamel基？

01-15

泛函

注意一個線性空間 $V$ 的Hamel Basis是它的一個最大線性無關子集，很自然的想到通過在已有的線性無關子集 $D$ 加入一個不能被它線性表出的向量就讓它離「極大（maximal）」的標準更近了一步，只要 $D$ 還不是最大。那麼這樣，假設Axiom of Dependent choice，我們就有了一個由關係 $subsetneq$

確定的increasing chain。然後對這個chain上的所有集合取並而得到一個新的子集。而這個新的子集必然是線性無關的。

最早考到這個結論的時候還試過另一個不可行的思路，就是利用Axiom of Dependent choice構造一個生成集（即 $V$ 中的所有向量都可被線性表出）的decreasing chain，然後取交，但是，它們的交集不一定是 $V$ 的生成集了。比如考慮實數域上的向量空間 $mathbb{R}$ ， ${[-frac{1}{n},frac{1}{n}]}_{n in mathbb{Z}_+}$ 是生成集的decreasing chain，但是它們的交是 ${0}$

並不是一個生成集。

最後提一下，Andreas Blass的一個著名結果說明了任一線性空間都有一組Hamel basis和選擇公理是等價的。見http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf

Zorns Lemma就好了啊

假設X是一個線性空間。取W={A：A為X的線性無關子集}，定義W的序為包含關係。然後根據Zorns Lemma可以得到W有極大元。極大元就是X的一個Hamel基