原始信號沒有負值 濾波器 濾波後 為什麼會出現負值？

我在matlab里用一個 high-pass filter 得到大於0.01Hz的信號， 原始信號中沒有負值，為什麼得到的結果會有負值？

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高通濾波以後，低頻分量被去除，其中第一個去除的就是頻率為0的分量，也就是信號的均值。比如一個離散信號[4 3 5 2 1 3 3 4 3 2 3]這麼一個信號，均值為3。那麼高通以後，首先去掉均值3，信號就變成了[1 0 2 -1 -2 0 0 1 0 -1 0]。這不就有負值了！

下面有同學問，為什麼低通濾波以後也有負值？好吧，其實是同一個道理，但是為了說的再清楚一點，這裡需要一點頻域變換的基礎，但是相當簡單，希望不至於讓大家皺眉頭。頻域變換有那麼幾個，比如正弦變換，餘弦變換，大名鼎鼎的傅里葉變換，這裡為了便於理解，所以用了離散餘弦變換（DCT），畢竟傅里葉變換中的基函數是複數函數，稍微有點不那麼直觀。

好，讓我們從餘弦逆變換（IDCT）開始。還是我上面提到的那個離散信號吧，他的波形是這個樣子的。

figure 1: the waveform of signal a

IDCT的公式是：

這裡n是時間採樣的序號，大N是總採樣次數或者說是信號長度，k是頻率的序號。y(k)是DCT的係數。w(k)是變換中的一個參數，可以理解為幅度係數。

IDCT公式就是說原始信號a是由N個餘弦信號線性加權得到的。對於我們的問題，這11個餘弦信號在沒有乘以前面的係數w(k)y(k)之前長成下面的樣子。

figure 2：basis functions for DCT

DCT變換係數如下：y = [9.9499 0.7531 0.9687 1.5356 -0.7531 -1.7684 0.1623 0.1800 1.8622 0.9567 -0.0220]

w(k)y(k) = [3.0000 0.4541 0.5841 0.9260 -0.4542 -1.0664 0.0979 0.1085 1.1229 0.5769 -0.0133] (看第一個，就是頻率為0的餘弦函數的係數，也就相當於是均值，是3吧。)

那麼將原始的餘弦信號乘上係數w(k)y(k)得到的11組餘弦信號長成下面的樣子：

figure 3: weighed basis functions for DCT

乘上了係數w(k)y(k)只不過改變了這些餘弦函數的幅度。所以figure2和figure3的差別就是信號變強或者變弱了而已，波形沒變化。

好，現在把figure 3裡面的11個餘弦信號加在一起就還原成信號a了。所謂高通，低通，帶通濾波就是把其中幾組信號從原信號中減掉。不管具體是減哪幾個，當你減掉的這些信號足夠大的時候，你就有可能減出負數來。就這麼簡單。(剛才作圖的時候頻率忘記乘上pi了，現在的對了。)

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