(n^2)fat(sin(n))的極限(+∞也算有極限)存在嗎? 進一步說任意n∈N，是否存在足夠大的固定的正數M，使得1/n^M<fat(sinn)成立? 附:fat表絕對值

01-15

首先重述一下題主的問題，給第一次看這個問題的讀者一點直觀.

現在考察數列 $n^lambdasin n, lambda>0$ .

首先，我們能夠找到一列正整數 $p_n$ ，使得 $p_n ightarrow frac{pi}{2} mod2pi$ ，這個式子的意義是，存在正整數列 $p_n$ ， $q_n$ ，使得 $p_n-q_ncdot2pi ightarrow frac{pi}{2}$ ，這個命題的證明留給讀者.

那麼，此時 $sin p_n ightarrow 1$ ，因此子列 $p_n^lambdasin p_n ightarrow +infty$ .

同理，我們也可以找到另外一個子列趨於負無窮.

那麼問題來了，數列 $n^lambdasin n$ 有沒有收斂子列呢？下面來探討一下.

直接來看一般的問題，考慮數列 $n^lambdasin n$ .

如果這個數列有收斂子列 $p_n^lambdasin p_n$ ，那麼等價的，會有子列 $p_n^lambdasin p_n$ 有界，即存在正數 $c$ ，使得

$|p_n^lambdasin p_n|<c$

也就是

$|sin p_n|<frac{c}{p_n^lambda}$

假設正整數 $q_n$ 滿足 $|2q_npi-p_n|$ 足夠小，那麼就有

$|sin(2q_npi-p_n)|<frac{c}{p_n^lambda}$

上面的式子可以看出， $|2q_npi-p_n|$ 真的非常小，那麼根據 $sin xsim x$ ，就有

$|2q_npi-p_n|<frac{c}{p_n^lambda}$ （可能 $c$ 和上面的 $c$ 不一樣，但都是常數就不做區分了，以下同）

兩邊除掉 $q_n$ ，就有

$|2pi-frac{p_n}{q_n}|<frac{c}{q_np_n^lambda}$

因為 $p_n$ 和 $2pi q_n$ 是差不多的，因此上面的式子就是說

$|2pi-frac{p_n}{q_n}|<frac{c}{q_n^{lambda+1}}$

因此，方程 $|2pi-frac{p}{q}|<frac{c}{q^{lambda+1}}$ 有無窮多解.

因此這個數列收斂性問題已經轉到了上面的方程的解的問題了，而這個是有現成的研究的，也就是無理數的irrationality measure.Irrationality Measure -- from Wolfram MathWorld

插敘開始：

大概說一下，對於實數 $x$ ，定義集合

$R(x)={kinmathbb{R}^+|0<|x-frac p q|<frac 1 {q^k} has at most finitely many solutions for p,qinmathbb{Z}}$

記 $mu(x)=inf R(x)$ 為 $x$ 的irrationality measure.

舉個例子.

不知道讀者是否知道超越數和代數數的討論，Cantor利用集合的大小輕易地判斷出了超越數的存在，而Liouville利用構造的辦法找出了一個超越數.Liouville證明了以下命題，

若實數 $x$ 滿足對任意正整數 $n$ ，方程 $0<|x-frac{p}{q}|<frac{1}{q^n}$ ， $p,qinmathbb{Z}$ 都有解，則 $x$ 一定是超越數.這種數稱為Liouville數.

並且Liouville實際給出了一個Liouville數，即 $sum_{k=1}^{infty}{frac{1}{10^{k!}}}$ ，稱為Liouville constant.

如果用irrationality measure的語言來說， $x$ 是Liouville數就等價於 $mu(x)=+infty$ .

插敘結束.

回到最開始的問題上，我們關心的數其實是 $mu(2pi)$ ，這顯然和 $mu(pi)$ 是一樣的，而對於 $mu(pi)$ 還是open的，如果算出來肯定能拿菲爾茲獎的吧.

wiki:

Transcendental numbers have irrationality measure 2 or greater. For example, the transcendental number e has μ(e) = 2. The irrationality measure of π is at most 7.60630853: μ(log 2)&<3.57455391 and μ(log 3)&<5.125.

ref:Liouville number

wolfram:

ref:Irrationality Measure -- from Wolfram MathWorld

有興趣自己去讀論文吧……

再次回到開始的問題上，假定我們知道 $mu(pi)$ ，那麼利用最開始的思路，我們將有以下結論：

若 $0<lambda<mu(pi)-1$ ，則數列 $n^lambdasin n$ 有子列收斂到0.
若 $lambda>mu(pi)-1$ ，則數列 $lim_{n ightarrow infty}{|n^lambdasin n|}=+infty$ .

證明留給讀者.

以上.

(n^2)*fat(sin(n))的極限(+∞也算有極限)存在嗎? 進一步說任意n∈N*，是否存在足夠大的固定的正數M，使得1/n^M<fat(sinn)成立? 附:fat表絕對值

(n^2)fat(sin(n))的極限(+∞也算有極限)存在嗎? 進一步說任意n∈N，是否存在足夠大的固定的正數M，使得1/n^M<fat(sinn)成立? 附:fat表絕對值