繩長不變的情況下，如何增加單擺的固有周期?

01-15

繩長不變的情況下，如何增加單擺的固有周期?
繩長基本不變，允許有一定的彈性，使用什麼樣材料的繩子，可以很大地增加單擺的固有周期？
也允許使用那種環環相套的鐵鏈子之類。
樓下qfzklm的回答，有點偏題，只考慮單擺，不考慮它變成圓擺。

更新20171025

考慮單擺中繩子的質量的話，粗糙的理解是這樣的，繩子的質量使得整個單擺的質心位置上移，等效地來講，單擺的擺長就變短了，最終導致單擺的周期變短。。

所以，在繩長不變的時候，應該選用輕繩，相比於擺錘，越輕越好。。

計算也很簡單，考慮物理擺，繩子的質量為 $m$ ，擺錘的質量為 $M$ 。則勢能

$V=left( m+M ight)gL_Cleft( 1-cos heta ight)$

動能

$T=frac{1}{2}Idot{ heta}^2$

類似的，哈密頓量可寫為

$H=T+V=frac{1}{2}Idot{ heta}^2+left( m+M ight)gL_Cleft( 1-cos heta ight)$

則小振動的周期

$T=2pisqrt{frac{I}{left( m+M ight)gL_C}}$

此時，轉動慣量 $I=ML^2+frac{1}{3}mL^2$ ，質心距離 $L_C=frac{mfrac{L}{2}+ML}{m+M}$ ，所以有

$T=2pisqrt{frac{L}{g}frac{M+frac{1}{3}m}{M+frac{1}{2}m}}=T_0sqrt{frac{M+frac{1}{3}m}{M+frac{1}{2}m}}<T_0$

================原答案=======================================

考慮一個無彈性繩，一個可能的方法是，把單擺轉動起來。。

設這個轉動單擺的角速度為 $omega$ ，那麼在這個轉動參考系下，擺錘在擺角 $heta$ 處的勢能為：

$V=mglleft( 1-cos heta ight)-frac{1}{2}momega^2l^2sin^2 heta$

取小角度近似，得到

$Vapprox mglfrac{1}{2} heta^2-frac{1}{2}momega^2l^2 heta^2$

在適當的低角速度轉動下，單擺的哈密頓量就可近似為

$H=frac{1}{2}ml^2dot{ heta}^2+frac{1}{2}mleft( frac{g}{l}-omega^2 ight)l^2 heta^2$

很明顯，這個單擺的振動周期會變長，角頻率 $Omega^2=frac{g}{l}-omega^2$ ，周期

$T=frac{2pi}{Omega}=2pisqrt{frac{l}{g-omega^2l}}$

要是轉得太快，那麼最低處就不再是穩定平衡點，新的穩定平衡點留做習題。

其實這個問題，跟朗道二級相變理論很有關係的說。。

因為沒有給出問題在實際運用方面的背景，所以最直接的辦法是：增大擺角。

T=2π(L/g)^(0.5)

最直接的辦法，減小g的數值即可

（請注意，「單擺」這個描述已經限定了擺動中繩長/稈長不變，繩重/擺重為零，重鎚無轉動慣量）

減小g的辦法除了換星球以外，還有其他等效的方法

1、非慣性系，比如電梯、拋物線飛機、飛船等

2、減小等效引力質量，比如如整套系統浸泡在無粘性流體中、用電磁作用抵消部分小球重量、上升氣流提供均勻升力

3、增大等效慣性質量，可以設計電磁裝置，增加小球的等效運動慣性

強答一發。

限於水平，對這個問題給幾個條件：單擺擺幅很小，近似線性單振子系統；存在空氣阻力。

然後就可以請出大招，增加系統阻尼，來延長周期：

有阻尼線性單振子系統頻率:

$omega_{d}=omegasqrt{1-xi^{2}}$

其中 $omega$ 是無阻尼時的振動頻率， $xi$ 是阻尼比，通常對於振動系統其遠小於1。顯然阻尼比的增大將導致頻率的減小，也即周期增加。（這一公式在所有結構動力學教材中都有）

那麼下一步就是增加阻尼比了，單擺的阻尼主要來自於空氣阻力和系統內摩擦，我單就增加空氣阻力舉例：1、在擺繩上系幾條飄帶；2、擺繩換成面積較大的帶子；3擺球也增大一下體積嘛。總之順著增加空氣阻力和增大內摩擦的路子走就對了。

既然繩子有彈性，就用更重的擺錘吧