以下量子力學中平均值計算中為什麼會出現一個矛盾的結果？

01-15

量子力學中平均值計算的一個矛盾結果？

題主沒有註明是離散譜還是連續譜，對連續譜而言，你的這個操作 $langle{alpha}|hat{C}|{alpha} angle$ 不合法，而對 $hat{A}$ 的離散譜，不存在一個與Hermitian的 $hat{A}$ ，與某個算符 $hat{B}$ 的對易子是常數且不為0.

下面我們先討論離散譜下， $hat{A}$ 與 $hat{B}$ 的對易子，如此標記離散譜的本徵態與本徵值： $hat{A}|{alpha_i} angle=alpha_i|alpha_i angle$

在A表象下， $hat{A}$ 對應的矩陣可以寫作一個對角陣 $egin{bmatrix} alpha_100cdots\ 0alpha_20cdots\ 00alpha_3\ vdotsvdotsddots end{bmatrix}$ ，設 $hat{B}$ 的矩陣為 $egin{bmatrix} eta_{11}eta_{12}eta_{13}cdots\ eta_{21}eta_{22}eta_{23}cdots\ eta_{31}eta_{32}eta_{33}cdots\ vdotsvdotsvdotsddots end{bmatrix}$ .

那麼對易子 $[hat{A},hat{B}]=hat{A}hat{B}-hat{B}hat{A},,xrightarrow{在A表象下}egin{bmatrix} alpha_1eta_{11}alpha_1eta_{12}alpha_1eta_{13}cdots\ alpha_2eta_{21}alpha_2eta_{22}alpha_2eta_{23}cdots\ alpha_3eta_{31}alpha_3eta_{32}alpha_3eta_{33}cdots\ vdotsvdotsvdotsddots end{bmatrix}-egin{bmatrix} alpha_1eta_{11}alpha_2eta_{12}alpha_3eta_{13}cdots\ alpha_1eta_{21}alpha_2eta_{22}alpha_3eta_{23}cdots\ alpha_1eta_{31}alpha_2eta_{32}alpha_3eta_{33}cdots\ vdotsvdotsvdotsddots end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0(alpha_1-alpha_2)eta_{12}(alpha_1-alpha_3)eta_{13}cdots\ (alpha_2-alpha_1)eta_{21}0(alpha_2-alpha_3)eta_{23}cdots\ (alpha_3-alpha_1)eta_{31}(alpha_3-alpha_2)eta_{32}0cdots\ vdotsvdotsvdotsddotsend{bmatrix}$

是一個跡零矩陣，而我們知道，在離散譜中，態空間基矢變換下，跡是不變的，所以對易子不可能是一個非零常數（這樣的話，跡就非0了）.

在連續譜情形下，為便於理解計，以坐標和動量為例來說明。

實際上， $langle{x$ 沒有嚴格的定義，代替地，我們可以考慮 $langle{x$ ，當 $x$ 時，後者便接近前者.

一方面： $langle{x$

另一方面：

$egin{eqnarray} langle{x$

可見二者是相等的。

另外一種方法是利用Weyl的本徵微分的辦法，就是說，在連續譜，比如 $hat{L}psi(x,L)=Lpsi(x,L)$ 時，對這式子在一個小區間 $Delta L$ 內進行積分：

$hat{L}int_L^{L+Delta L}psi(x, ilde{L}), ext{d} ilde{L}=int_L^{L+Delta L} ilde{L}psi(x, ilde{L}), ext{d} ilde{L}$ ，將 $int_L^{L+Delta L} ilde{L}psi(x, ilde{L}), ext{d} ilde{L}$ 這本徵微分當做本徵函數，它是有限延展的波群，所以可以歸一化。

下面來留一道習題：

在Hamilton量分立譜的束縛定態中證明動量的平均值恆為0.

前提條件有問題：至少在有限維線性空間中，沒有哪兩個埃爾米特算符滿足這個對易關係的。

由於物理量對應的算符基本上都是厄米算符，所以我們就只討論厄米算符的情況，這樣的話算符既可以作用於左矢量又能作用於右矢量。

題主的問題可以分成兩種可能：C是一個算符的時候和C是常數的時候。當C是算符的時候，結果是顯然的，在這個本徵態下C的平均值是0，位力定理就是用這種方法證明的。

接著考慮C是常數的時候，C是常數時，應該有以下關係：

$[A,B]|alpha_{k}>=C|alpha_{k}>$

下標k表示這是算符A的第k個本徵態，本徵值為 $alpha_{k}$ 。

把對易子拆開，可得， $（A-alpha_{k}）B|alpha_{k}>=C|alpha_{k}>$ 。

再進一步，我們知道 $|alpha_{k}>$ 肯定不是算符B的本徵態（否則對易子就是0）了，我們用算符A的一系列本徵態將其展開：

$B|alpha_{k}>=b_{1}|alpha_{1}>+b_{2}|alpha_{2}>+b_{3}|alpha_{3}>+.....$

為了簡化起見，這裡忽略簡併問題，A的所有本徵態組成了一組完備的正交基矢量。

然後再把這個展開帶入關係式中....

再然後我就傻眼了，因為我發現在算符B的展開係數中除了bk以外所有的係數都是0。可如果是這樣的話 $|alpha_{k}>$ 豈不也成了B的本徵態了？

怎麼又矛盾了？

按照反證法的邏輯，如果推演出來的結果與前提假設矛盾，那麼問題可能出在前提假設上。

難道並不存在一個和A的對易子是常數的埃爾米特矩陣？

這個時候其實已經和量子力學沒太大關係了，這是一個地道的矩陣問題。

再次簡化問題，只考慮有限維線性空間，並把所有的係數限定為實數，此時埃爾米特矩陣等於對稱矩陣。把矩陣A寫成對角矩陣的形式，能不能找到一個對稱矩陣B，使得它與矩陣A的對易子是不為0的常數？

坦率的說，我目前為止還找不出來任何一種這樣的矩陣。

我想了一下，量子力學中也就只有坐標和動量算符的對易子等於常數，但那已經是在無限維線性空間中的事情了。

個人猜測：從有限到無限這一步中出了什麼問題。

能力有限，只能做到這一步了。

trace

這是一個新手必問的問題。

順帶一提，如果[A,B]=常數，那麼A,B的本證值必然連續，否則就會出現你所說的bug，Dirac的書上給出了一個相位-粒子數對易關係: $[N,phi]=i$ ，後人證明這個關係式是錯的，一個原因（但不是最關鍵的原因）就是因為N的本徵值離散，作用 $|n angle,|n$ 在左右兩側，最後再令 $n$ 就會得出此對易關係式不成立。

PS：證明[A,B]=常數，那麼A,B的本證值必然連續：反證，假設A的本徵值離散，在A，B間插入A的本徵態的完備集，有（省去對a,a",a""的求和符號） $AB-BA=|a anglelangle a|A|a$

$=a|a anglelangle a|B|a$

在a=a""時AB-BA=0，同理，B的本徵值也不能離散，所以A，B的本徵值都離散。以上過程不可以搬到連續情況，因為連續情況下是 $a$ 是算整個式子的極限，需要考慮 $langle a|B|a$ 的值，而離散下的a""=a直接就讓a-a""成為無窮階小量。

Cohen-Tannoudji量子力學第一卷，補充材料DII、EII。

無窮維需要用泛函分析中的無界運算元知識討論，結果應該為 @游傑宇寫的一個Dirac函數。

有限維，以Pauli矩陣為例，可計算：

$sigma_x=egin{bmatrix} 0 1\ 1 0 end{bmatrix}\ sigma_y=egin{bmatrix} 0 -i\ i 0 end{bmatrix}\ sigma_x.sigma_y=isigma_z\ sigma_y.sigma_x=-isigma_z\ [sigma_x,sigma_y]=2isigma_z$

可見，兩個厄米算符乘積非厄米。

取第一個Pauli矩陣的本徵值做內積，可得

$<x|sigma_x.sigma_y|x>=<x|sigma_y.sigma_x|x>=<x|sigma_z|x>=0$

$|x>=frac{1}{sqrt{2}}egin{bmatrix} i \ -i end{bmatrix}$

即題主所寫的後一個表達式，其實應該取算符C的平均值，&，它為0。兩式相等，沒有任何矛盾。也就是說，在有限維，要考慮基矢，算符A如果有對易子得算符C，A和C必然沒有相同的基矢，求平均值的結果必為0。但此時算符C也不是一個常數。可證明除C=0外，不存在常數C。

量子力學中，formal equations are cheap, 必須嚴格按照Hilbert空間中的分析方法，代入基矢，求平均值。這部分的結論跟高數用的3維Cartesian空間差別非常大。實際上，高數里連實空間也並沒有好好討論，稠密性、緊緻性都沒有好好介紹，按粗淺直覺搞一定會出事。比如位置的平均值&是咋回事，簡單版量子力學根本說不清楚。

來歪個樓。說實話題主圖片裡面的東西從第二行開始我一個標點符號也看不懂，所以我寫的什麼大家也不要在意。

給兩個Hilbert空間上的運算元A,B，並且滿足 $[A,B]=AB-BA=cI$ ，c不等於零。不妨假設A和B都是自伴/自共軛/厄米的運算元。如果都是有界運算元的話，題主的大概意思是說A和B中間的某一個一定不會在trace class裡面。這個當然是對的。不過也不是所有有界運算元都能求trace. 然而事實上，A和B不能夠都是有界運算元。不妨假設c=1，那麼容易看到 $A^nB-BA^n=nA^{n-1}$ ，從而利用exp(x)的冪級數展開，再加上A有界，我們有 $e^AB-Be^A=e^A$ ，從而 $e^A(B-I)e^{-A}=B$ ，但是等號左邊的譜與B-I的譜是一樣的，這說明B的譜是有周期的，這與B有界矛盾！

比如說一個具體的例子，空間取成 L2R， $A=xcdot, B=sqrt{-1}frac{d}{dx}$ ，這時A,B都是無界的。可以證明，滿足典則對易關係的運算元本質上就是上面那個樣子。證明的過程中要處理無界運算元，雖然不能像有界運算元那麼隨意，但是用有界函數去做函數演算還是可以的，比如說證明中的某一步就要引入 $exp(2pisqrt{-1}At)$ ，這是一個單參數酉運算元群。然後用這個去構造A和B的不變子空間以及在上面的表示。

這個推導有兩個問題，跟Hilbert空間是無窮維空間有關：

算符A在Hilbert空間內不一定有本徵矢（例如無界運算元）
無窮維空間內算符的跡不一定存在（例如單位算符）

本質上就是因為相干態是無限維的矢量。這確實是個數學問題，非數學專業大一的學生學線性代數的時候，會發現課本一直在強調矩陣/矢量是有限維的前提。這是因為到無限維的時候，有限維推出的定理基本都不成立了。從量子力學的層面也反映了相干態並不完全是個量子態。

用x和p體會一下，應該就能明白。

並且可以試一下分立的情況，我猜，不存一個B和厄米矩陣A的對易子是單位陣。

難道整個過程不是證明了

如果某個運算元與只有離散譜的厄密運算元的對易子為常數，那麼這個常數只能是0

這個結論嗎？

題主的推導過程對於有A只有離散譜的情形是完全沒有問題的。對於A有連續譜的情形，最後一行不合法，因為此時本徵態是無法歸一的。

首先是題主算的這個東西不叫平均值，關鍵是題主用錯了狄拉克符號，因為對易子不是厄米算符。

對於非厄米算符，它不在觀測量的線性表示之列，談不上平均值，題主想算的只是個普通的內積。

但是這個內積寫得不規範。。。簡單來說就是算符是作用在左矢，還是右矢。這個含糊不清導致沒法算。厄米算符這個問題不存在，但是對易子不是厄米算符，AB和BA也不是。題主第一行直接判斷為零想必是把算符AB和BA一個作用在左矢，一個作用在右矢。要想搞清楚，我們來看看狄拉克符號是怎麼來的。設有Hilbert空間

（未完待續，補作業去了（捂臉））

不存在可歸一的 $|alpha angle$ 唄

比如位置算符，動量算符滿足你給出的兩個條件，但這兩個算符的本徵態不是可歸一的。

你這裡面默認態可歸一， $langle alpha |alpha angle=1$ 了(最後一個等號)。

這意味著整個態空間是A的本徵態，那麼A應該與任何算符對易。

先假設題主的假設1）和2）相互融洽以及是合理的，那麼題主的結論中第二式是正確的，問題在於第一式。

第一式出現問題的原因在於忽略了運算元作用的順序性，即BAket｛a｝=Baket｛a｝不能想當然的認為等於 aBket｛a｝，就像要注意多個函數乘積的求導一樣！

還有的問題就像其他答主指出的假設1）和2）同時成立的條件只能在無窮維空間。

Commutators of Hermitian operators are no longer Hermitian; in fact, they are anti-Hermitian.

=0的最後一步怎麼來的？為什麼等於0？

這個很明顯，第二個式子應該是錯誤的，算符C是對易式，它不是厄米算符，厄米算符可以不區分作用方向，但這個C就不一定了，2式不能這樣寫

要是A，B都是厄米算符，感覺第一步沒問題啊，但那樣的話C就不是厄米算符了，第二步可以那麼算嗎？

從數學的角度來說，&<α|AB|α&>是矩陣乘法，不滿足交換律，不能從左邊開始乘。

從物理的角度來說，在A，B都是厄米算符且不對易的情況下，A，B沒有共同本徵態，則第一個等式不成立。

我覺得動手算一下就明白了。。。

你這邏輯上有明顯的錯誤。。

看了一下回答，重點不在C上因為C可能是個常數。

主要錯誤是在&=0，A,B不對易這會造成|a&>不是B的本徵態，所以都不用考慮不確定原理的？

我想題主的錯誤在於A是厄米的，&,一個向左作用一個向右作用，但是你這一步的結果是

&-&,加上|a&>不是B的本徵態，雖然最後A作用以後都拿出來了，但是&不是一個確定的數。

而題主的思路是A&，卧槽B-B，不得了，我有了大發現。。。這個應該是0,但是C不是0.,量子力學不自洽（手動滑稽）

其實只是題主沒有抓住哪些是好量子數哪些不是，另外題主並沒有理解概率解釋的精髓。竟然不知道兩個對易不為0的算符不能用共同本徵態？

這個情況是個特例，因為雖然A,B不對易，但是&=0。當然這沒問題，既然這樣&<0|C|0&>肯定也是等於0的。量子力學自洽性質還是非常好的，這種矛盾只是你自己沒注意細節罷了。