小數點後可以有無數位，為什麼兩個物體仍可以相互接觸？

01-15

這個主題有意思，我來回答問題。
題主的這個觀點我也有過。不但我有，許多人也有，連古希臘的人都有。這個觀點的關鍵在於，它忽略了時間因素。
我們先來建立基本概念：來看下圖：

從圖1、圖2和圖3中看到，物體M1和M2之間的距離越來越接近，即： $L1>L2>L3$ 。
按主題，我們會發現，物體間的距離是一個連續變化的數列，即：
$M_N=M(L_1,L_2,L_3,,,,L_N,,,,)$
我們來觀察數列Mn，發現它有如下特徵：
第一，它是單調遞減數列，也即後項一定小於前項；
第二，它有最大值存在，這個最大值就是首項L1；
第三，它是有界數列。數列的每一項都大於零，零就是它們的下界。
根據數學分析中有關數列極限存在的定理：單調且有界的數列必有極限。由此可知必有：
$lim_{N ightarrow infty}{L_N}=0$ 。

也就是說，物體間的距離L的極限是零。
題主的疑問就出現在這裡。
題主認為，物體相互接近的過程是可以無限地進行下去的。就如同Mn數列中的那些L項，它們的數量是無窮的。
那麼問題出在哪裡呢？
問題在於，我們僅僅考慮了空間因素，而沒有考慮到時間因素。如果只是考慮空間因素，那麼上述過程是無限的。但我們加入時間因素，並引入速度的概念，則上述過程就是有限的。
速度，它的定義就是距離或者位移的改變數對時間改變數之比。也即 $V=lim_{Delta t ightarrow 0}{frac {Delta L}{Delta t }}$ 。速度其實就是空間與時間的聯繫媒介。
設物體1的速度是V1，物體2的速度是V2，它們之間的最大距離是L1，則它們相遇的時間T是：
$T=frac {L_1}{V_1+V_2}$ 。
我們來推導一下距離與速度的關係式。從圖1到圖3，我們能看出有如下關係式成立：
$L_2=L_1-(V_1+V_2)t_1$ ， $L_3=L_1-(V_1+V2)t_2$ ， $L_N=L_1-(V_1+V_2)t_{N-1}$ 。

我們發現，時間tn-1與Ln之間有了關聯性。
也就是說：當t&T時，兩物體之間的距離越來越大，它們逐漸遠去。
我們很容易由Ln的表達式求出結果的：
$L_N=L_1-(V_1+V_2)t_{N-1}Rightarrow t_{N-1}=frac {L_1-L_N}{V_1+V_2}$
當N趨於無窮大時Ln趨於零，則有： $t_{N-1}=frac {L_1- lim_{n ightarrow infty}{L_N}}{V_1+V_2}=frac{L_1}{V_1+V_2}$
注意到此時的tn-1其實就是T，於是我們就得到了 T=L1/(V1+V2) 這個結論。
在這裡我們把時間與空間關聯起來了。儘管距離的取值還是無窮小量，但在時間參與之後，距離的無窮小量連印跡都沒有留下，系統中的參量都是有限的常態的。我們終於撇開了悖論。
總結一下：
討論實物物體的運動時，要想到它處於時空坐標系中，不能把空間與時間割裂開來討論。
若強制性地割裂開來討論問題，例如僅僅只考慮空間，則會出現題主主題所論及的情況；如果僅僅只考慮時間，則會出現類似超光速的運行情況，或者永恆的靜止不動。

現在回答題主的問題：
1.相向而行的兩個物體，之間的距離可以由1縮短為0.01米，繼續0.01………0.00000000001…，那最後是怎麼變為0呢？這是否說明了數字的局限性。
回答：
物體間的距離可以無窮小，數字沒有局限性。
請題主注意：要用極限的觀點來看問題，而不要把自己繞進具體的數字形式中去。
2.世界是連續的嗎？如果世界是連續的，如何想像兩個物體間的距離怎麼變成零的。
回答：
這個問題的內涵極深，需要幾本書來解釋。在這裡還是就事論事，具體見我的回答。
3.小數點後可以有無數位，兩個物體為什麼可以相互接觸？
見我的回答，把時間考慮進去，一切都是明朗的。

物體的相互接觸，其實就是物體在時間和空間中的相互作用。
我們每天上班學習，舉手投足之間總會碰見各種物件，這些接觸都在日常生活中日復一日地反覆出現，我們都習以為常了。這裡既有空間位置的移動，也有時間上的安排。如果這些活動不考慮時間，我們沒法想像會如何。
我們人類生活在由三維空間與時間維構成的時空中，只有時空才是本質的東西，是我們的本源。在時空中脫離了時間來討論物體運動，或者脫離了物體運動來討論時間，都毫無意義。
至此，題主的問題回答完畢。
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說實話，看到題主在寫極小數值時如此費勁，有點難受。來給題主解兩道題，讓題主明白書寫格式，並粗略地了解有關極限的最基礎知識吧。
第一道題：我們設這兩個物體是小鋼球，它們的直徑均為2.5mm。初始狀態下，它們之間的外緣距離是1m。它們相向運動的速度分別是V1=1cm/s和V2=1.5cm/s。若忽視地面的摩檫力和空氣阻力，求：
1.它們相互碰撞的時間；2.兩者運動到間距為1微米時所用的時間，兩者運動到間距為1納米時所用的時間。

解：
當書寫微小數值時，盡量採用數量級的方法書寫，所用單位也盡量標準化（ISO標準）。
我們看下圖：
解1：根據圖4和圖5，我們確定了碰撞時間T為：
$T=frac {L_1-(D_1+D_2)}{V_1+V_2}=frac {1-(2.5 imes 10^{-2}+2.5 imes 10^{-2})}{1 imes 10^{-2}+1.5 imes 10^{-2}}=38s$
也就是說，38秒後它們的PP將撞在一起。
解2：在上式的分子部分減去間距K，K分別等於1微米和1納米，求解即得：
間距K為1微米：

$t_1=frac {L_1-(D_1+D_2)-K}{V_1+V_2}=frac {1-(2.5 imes 10^{-2}+2.5 imes 10^{-2})-1 imes 10^{-6}}{1 imes 10^{-2}+1.5 imes 10^{-2}}approx37.99996s$
間距K為1納米：
$t_2=frac {L_1-(D_1+D_2)-K}{V_1+V_2}=frac {1-(2.5 imes 10^{-2}+2.5 imes 10^{-2})-1 imes 10^{-9}}{1 imes 10^{-2}+1.5 imes 10^{-2}}approx37.99999996s$
我們看到，儘管兩小球之間的距離已經如此之小，並且t1和t2與T的時間差值也如此之小（偏差已經到了小數點後第8位），但我們並沒有看到有什麼驚天動地的事情發生，更沒有悖論存身之處，任何力量都無法阻止它們最終撞在一起。
這就是時間的作用，兩小球似有情人終成眷屬！
所以，在計算物體的位置變化時，一定要把時間因素考慮進去，一切都十分自然明了。這就是時空的作用。
第二道題：有關數列極限的定義
對於數列{Xn}，設存在一有限數a，對於任意給定的小正數ε，總有正整數N(ε)，當n&>N時，有：|Xn-a|&<ε都成立，則稱數列{Xn}以a為極限，記為： $lim_{n ightarrow infty}{X_n}=a$ 。
我們來細看這個定義：
所謂任意給定的小正數ε，預示著要多小就有多小的意思。我們不必象題主那樣在小數點後添加N個零，直接用ε來表示就可以了。

當ε確定後，我們發現總能在數列中找到某個對應項，它的序列編號是n，滿足|Xn-a|=ε。記下這個n，並把n換成正整數N。我們發現從此之後，對於所有的序號n&>N，|Xn-a|&<ε都成立。
由於ε具有任意性，並且對每一個不同的ε，都可以找到對應的N。於是量變引起了質變：數列落入了圈套中而不可自拔，於是a就成為數列{Xn}的極限了。
看個實例：我們設Xn=1/n，其中的n=1，2，3，……。看得出來，當n趨於無窮大時，數列{Xn}的極限就是0。
現在，我們讓 $varepsilon=10^{-3}$ ，我們來看看對應的N是多少？
因為： $N=frac {1}{varepsilon}=frac {1}{10^{-3}}=1000$ ，故有： $left| X_N-0 ight|=frac {1}{1000}=varepsilon$ 。
於是我們取n=1001，則有： $left| frac {1}{1001}-0 ight|<varepsilon$ 成立。
我們當然可以讓ε取更小的值，並求出對應的N，並且可以無限地進行下去。我們看到，其實數列Xn的編號n是ε的函數。
正是因為ε要多小就有多小，並且是任意給定的，所以才有最後的結論，數列{Xn}以0為極限。
回過頭來，我們再看圖1到圖3中長度L構成的數列 $M_N=M(L_1,L_2,L_3,,,,L_N,,,,)$ ，其中各項可不正是如此嗎？
至於偏差書寫，我們完全不必象題主那樣用「0.01………0.00000000001…」來表述，直接使用ε就可以了。

注意：這個定義非常著名，它就是極限的柯西定義。有趣的是，這個定義的表述方法很象定理，並且還有人試圖來證明。結果呢，反而證明了它的確是定義。
柯西數列極限定義是解決第二次數學危機的最關鍵一步。
不知道大家注意到沒有？我們在推導過程中用到了自然數序列的一個特徵，就是後項比前項大，並且相鄰項的偏差是1。這個特徵，在有關集合論的數學第三次大危機中扮演了一定的角色。
內容太多了，就此結束吧。

各位都在講數學，但是這個問題另一方面物理上是沒意義的，因為物體表面本來就沒有明確的邊界，宏觀意義上的"接觸"是指兩物體間產生了顯著的電磁相互作用。

謝邀。
題主的問題讓我聯想到一個稱為「阿基里斯追烏龜」的悖論：
解決這類問題（包括題主的問題），最重要的是給「永遠」這個概念下個定義。
如果把「永遠」定義為「n→∞」，即1，0.1，0.01，……，0.1^n，……這個序列可以無限地列下去，即阿基里斯先追到A，再追到B，再追到C，……，這些字母可以無限地列下去，那麼，兩個物體確實「永遠」都無法達到嚴格的接觸，阿基里斯也「永遠」追不上烏龜。
但是，我們通常是把「永遠」定義為「t→∞」，即兩物體在有限的時間裡無法達到接觸，阿基里斯在有限的時間裡追不上烏龜。在這種定義下，把兩物體之間的距離分成1，0.1，0.01，……就沒有意義了。我們只要看兩物體能不能在有限的時間裡使距離降為0（不是數學上嚴格的0，只要在物理上足夠小就行），就能判斷兩物體是不是「永遠」無法接觸，阿基里斯是不是「永遠」無法追上烏龜。

我高中的時候想過一個更好玩的問題。
如果一個小球每次落地後都會彈起，那麼小球最終有可能停下么？
直覺上講，如果每次落地都會彈起，當然會一直跳下去。但是，讓我們來分析下。
理想情況下，為方便計算，假設小球落地彈起時速率減半。第一次下落時，經歷的時間為t，那麼
彈起時，上升時間為t/2，下降時間為t/2，合計為t;
再彈起時，上升時間為t/4，下降時間為t/4，合計為t/2;
再彈起時，上升時間為t/8，下降時間為t/8，合計為t/4;
..........
小球運動的總時間為t+t+t/2+t/4+t/8.........
這個數列是有極限的，極限是3t。
也就是說，即便每次下落都會彈起，但是小球還是會在3t的時間點上停下來。
那怎麼理解這件事呢？
每次下落都會彈起，代表了小球需要做無限次的彈起。
但是完成無限次的彈起，並不需要無限長的時間。
本例中，小球在3t有限的時間內，完成了無限次彈起。
不管你需要做多少次彈起，時間的車輪滾滾向前，在3t時間點到來的時候，小球必須停下來。
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題主的問題其實跟我的回答有類似之處，我的回答是在3t時間點之前無限地分割時間。而題主的問題是在碰撞之前利用分割出來的無限個時間點來考察距離。
無限次分割的這個動作，可以在有限的時間內完成。
希望有幫助。

一個有限的事物，你可以給它無限分割，但是這並不代表分割以後再加起來它們就是無限了

為什麼不從物理的角度來考慮呢？
題主的問題就是高中時期提到過的：在考察一個很小的尺度的時候，質點的模型不再適用。
當兩個物體開始產生力的相互作用的時候，就可以認為物體已經接觸著了。在那麼小的尺度上，想像中的光滑的兩個物體接觸在一起的景象，實際上更是高速震顫著的原子（離子）通過周圍的電子云產生里的作用。想像著這個圖景，題主的問題是不存在的。
（幹嘛提那麼多數學問題嘛…不聽不聽）

連續運動這個概念是人無法直觀理解的，必須經過專門的數學訓練才可以。在任意一個連續區間內，不相同的點的個數都要比你想像中的無限多（從1，2一直數到頭，也叫做可數無窮）還要多，它裡面的「點」是根本不可以一個一個數清楚的；然而又可以定義一個「長度」（數學上叫測度），讓每一個小區間都有一個有限的長度。這是連續的基本性質，無窮而又有限。
一個連續的運動過程可以粗略理解為，將時間和空間都細分成非常小的區間，每個區間的「長度」會越來越小，小到一定程度時，區間中所有點的狀態的差距也會變得曖昧不清，這時討論其中的中間過程已經沒有太大意義了，連續運動就由這樣的小區間疊加產生了。

非高能物理世界從沒有兩個物體在原子核級別真正接觸。就算你坐在凳子上，你最外面一層原子，也只是懸浮在凳子最外層原子之上。斥力保證了這點。否則你坐一次凳子粘一層原子，遲早減肥失敗

因為實數的稠密性和連續性，即：對於任意兩個實數，存在實數位於它們之間；非空有上界的數集必有上確界，非空有下界的數集必有下確界。
由此，存在單調收斂的數列，且對於這樣的數列，必定存在一個值，使數列「無限接近」它但是達不到它。
詳見《數學分析》。

世界不是連續的。
當二者距離達到一個普朗克長度的時候，下一個普朗克時間就會一躍而過。

因為兩個物體接觸時，距離也不會變為 0
兩個原子相互靠近，R 是原子之間的距離，縱軸是能量——你可以看到當 R 靠近 0 的時候，能量會變成無窮大。即使兩個物質連為一體，中間形成化學鍵，原子之間的距離也不是 0，而是在 Re 這個地方。化學鍵的長度通常在 0.1-0.2 nm

舉個簡單的例子，雖然不夠嚴謹。如果你能接受1/9＝0.111…，那就可以理解0.999…＝0.111…×9＝1/9×9＝1。
大學中的定義如圖：
補充一下樓上所說的芝諾佯謬，即阿克琉斯追不上烏龜。這裡面存在的一個問題就是，阿喀琉斯追到烏龜上次所在位置的過程次數雖然是無限多的(數學意義上無限多)，但是這個過程在時間尺度上不是無限大，即對無限多次追擊求和並取極限之後，所用時間是有限的。

建議讀一下量子力學。

世界是離散而非連續的。所有物理量都存在最小單位。哪怕是光和電。
對於題主你的問題，通俗來講可以這麼理解：你把物體向前推，需要付出能量，而能量也依然不是連續的，有個最小單位，超過這個最小值的能量才能推動物體前進，它的大小與普朗克常數有關。
因而，微積分只是一種數學工具，在現實中不存在，不存在能夠無限細分的現實事物，這個世界是離散的，不能被無限分割。
你無法把物體向前推進無限小的距離，最小距離存在底線，答案就是這麼簡單。

很簡單，因為其實是先有了「兩個東西接觸」這類感覺印象，然後才會出現數學、物理學等理論作為這種複雜知覺的簡化形式。
任何理論都是現實的簡化，本身必定只能反應現實的某些層面。數本身就是人腦最典型的簡化模式，所以必然只可以在特定的層面上對現實進行模擬。

你舉的數字，可以認為就是0.000000....，循環節為0，這個數字就是0。
同樣地，0.99999999....，循環節為9，這個數字就是1。
小學老師教過，不同大小的數字要從首位開始比大小，但相同大小的數字顯然不應該用這種方法比較（相同大小的數字不需要比較(?_?)）
那麼現實生活中兩個物體存在一個0除外的最小距離嗎？
高中集合知識告訴我們，「（0」是一個開區間，沒有最小值。

#還是少點戾氣正經答一下
和所有理論問題一樣從定義開始首先什麼是接觸？
一開始就出現了問題物理里並沒有嚴格的接觸概念簡單的說通常人們以為2個宏觀物體接觸是因為它們之間的引力和斥力達到了平衡就像彈簧正好處於最合適的狀態(這段話來自高中物理老師的比喻)
所以物體接觸就是有問題的定義
如果全當它是題主想像中的世界接觸就是距離為0 不存在斥力呢？
那麼問題又來了由於觀測限制時間空間的觀測都有一個下界普朗克常數所以至少可觀測宇宙的變化是離散的可以當做像顯示器一樣一幀一幀有像素點的變化就是很容易想像的了(但這不代表真實宇宙就是離散的)
如果宇宙沒有這些物理規律是純數學的呢？
變化時的奇怪性質主要來自於連續統的性質:真子集可以和原集合等勢就是說0-0.00001之間的實數和所有實數"一樣多" 就有系統的一部分等於系統本身這種不合常識的結論
連續的運動一個性質是不可列即對於任意連續統的瞬間值不存在"上一瞬間"的概念也就沒有"到達0的前一時刻"這種說法所以並不能按照離散的那樣按照一個個點逐個接近的想
連續統的這些性質不是三言兩語能說清楚的涉及極限無窮是數學發展的一大里程…希望題主能好好學習早日理解
最後吐槽
就後兩點可觀測宇宙的不連續性和連續統相關知乎上這種問題得有上百了吧…
衷心希望以後知乎這種問題少點

之間的距離可以由1縮短為0.01米，繼續0.01………0.00000000001…，那最後是怎麼變為0呢？這是否說明了數字的局限性

首先，你只看了Y的變化，沒看X的變化。你的時間自變數又不是只能取到碰撞點那個時刻，人家運行的時候已經跨過去了，你的位移憑什麼不跟著過去？

你人為地定義了0.01、0.001、0.0001……這個無限步驟。哦，那很好，可是步數和時間有什麼卵關係？

對於普通的連續方程，即使你對那個點求極限，你又沒有提供任何限制來阻礙它真的踩到那個極限點，那它憑什麼不能到那個點？

總之，請自行複習任意高數教材的極限部分。

那麼現實生活中兩個物體存在一個0除外的最小距離嗎？
世界是連續的嗎？

現實世界裡不存在剛體。物體的接觸、碰撞從微觀上看，是由於原子間半徑小於一定距離，電磁斥力開始產生顯著作用；從宏觀上看，兩個物體的材質會相互擠壓變形，接觸位置產生應力。

世界是連續的嗎？
重點不是接觸，是變化的過程
拿把槍向懸空的一張紙射擊，子彈到紙所在平面之間的距離是連續性變化還是間斷性變化？連續的話（無線細分）就想像不到怎麼變成0的，間斷的話我還能理解。

微觀上可能不是。不過這和你考慮的問題沒有任何關係。你的問題根本不涉及這個層次。
你壓根就沒有正確的套用實數的性質。

系統地學習下ε—n語言你就會清楚很多了

謝邀。
所謂「接觸」並沒有使距離變為0。另外，在物理上數字小到一定程度認為它是0。

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