PDE(基礎方向、流體)和CFD(計算方向)該選哪個？
我是一個大二的數學系學生，現在面臨著選專業的路口。
我對流體比較感興趣，想選擇基礎數學方向的pde或者計算方向的計算流體力學，想向大家了解一下現在流體方面的pde前景如何？在個人發展方面是否值得進入？以及在現在的時代下這兩條路哪條路比較有科學意義，或者說人們比較需要？ 如果選擇基礎方向的話，我應該如何比較專門地提高自己(現在剛剛開始學Sobolev空間)？這個方向上人們關注的問題是什麼，遇到了哪些困難停住了腳步呢(可以回答得比較專門深入)？對CFD方向也有差不多同樣的疑問，以及這個方向的出路是什麼呢？有哪些科研單位接收，或者有哪些企業比較需要這方面的人才呢？CFD現階段的困難和未來該發展的方向是什麼呢？工資待遇方面又如何？萬分抱歉，問題比較大，我自己也查了一些資料，但是想聽聽從業者、過來人的說法。感謝大家的幫助~
謝邀：我算半個做pde的，但是研究的方向是pde的反問題和控制。我對CFD一無所知，所以就不扯這個了。至於PDE,我的建議是這樣的：sobolev空間這種東西你學歸學別走火入魔，很多估計大家都是拿來用的，初學者不要太糾結證明。你大二就開始學sobolev？起步好奇怪，感覺有點快，我的建議是這樣的：先學實分析／複分析，然後（線性）泛函分析和sobolev空間一起學。這個階段我推薦一本書Brezis的
《泛函分析、索伯列夫空間和偏微分方程》
這本600頁的書細細看完，課後習題做得七七八八， 這樣算是入了門。
你這個時候可以看Evans的那本《偏微分方程》（800頁）。 這本書基本上非常經典的pde入門教材，但是看它的前提是最好你學過泛函分析（沒學過會有點難度，理論上還是可能的），所以，我反而推薦上面那本。不過，Evans的好處是裡面包含了很多變分法的內容。這是上面沒有涉及的。
然後，你可以選擇林芳華那本書繼續下去，把各類估計學一下。當然了，如果你先學了調和分析，特別是其中奇異積分理論的部分，學完後看各種估計就簡單多了。學好調和分析對於串聯各種pde的估計／空間和不等式是非常有必要的。我個人認為理解好fourier變換是理解
homogeneous Sobolev /Besov spaces的最快方法。特別的，如果你了解Littlewood–Paley分解，那麼sobolev embedding和 Gagliardo–Nirenberg or Hardy inequalities就不難理解了。 學pde最大的遺憾就是本科／碩士沒花時間學好調和分析，現在只能用研究的間隙查漏補缺。 如果你要做基礎pde或者分析，那麼「硬分析」的功力很重要。
對了，調和分析（特別是Littlewood–Paley分解）在處理非線性方程的時候是一個非常重要的工具。具體的可以看一本書"Fourier analysis and nonlinear partial differential equations"。換句話說，如果你志向是流體方程的話，學一些調和分析是非常必要的。我推薦你看Duoandikoetxea的《Fourier analysis》，stein那本有點厚，如果你對自己有信心，也可以看，大約是600頁。調和分析自然是要處理 Pseudodifferential 運算元的，雖然我提到的兩本調和分析書中都有涉及這類運算元，但是我最近發現有一本Helmut Abels的《Pseudodifferential and singular integral operators an introduction with applications》也是相當的不錯，寫得很簡單，面向本科生。說白了，pde其實是一個框，裡面可以裝很多貨，學pde實質上需要學好各種分析工具。如果你分析不好，那是絕對不可以的。
最後忘記說了，有一本神書："二階橢圓型偏微分方程"（Trudinger）。我的pde老師是林芳華的學生，林對他的要求是把這本書（除了最後幾個章節）的所有證明都倒背如流。 導致他現在給學生上課不需要教案，可以直接裸操。據說魏軍城大三的時候就可以操掉這本書了。 你可以往這方向努力看看（笑）。 當然了，具體看你以後做哪一類方程了，不同類型的方程處理起來真的是不一樣的。
如果你一個本科生可以學完我說的上面的內容，你就很了不起了。 接下來，就看你的個人興趣了和未來導師的要求了。
本人數學系cfder。
一般數學系的cfd基本是做磚塊的，無非是重構，通量，物理建模本身。重構和通量屬格式構造，基於三大守恆和熱力學第二定律，各展神通。現在圈子裡主流都在拼high order scheme，戰國時代，沒有人勝出，短時間看不到又勝出的格式，歡迎入坑……物理建模本身也是數學系cfder重要使命，一般搞工程的有心無力吧。比如，稀薄流，plasma，輻射……小到微納尺度，大到天體星系，都別有風味。核心是多尺度多物理場的建模和模擬，玩這個物理基礎和背景也要過硬…說說pde吧，聽了不少和流體相關的pde，絕大部分討論簡單benchmark，比如burgers 方程，boussinesq方程組，二維無散歐拉，homogenerous的ns…都在玩不等式，正則性，適定……如果你喜歡這些，也歡迎…
近些年有些大牛在流體里尤其是湍流里玩sde，感覺蠻有意思，推薦可以關注下，畢竟湍流是下金蛋的母雞…歡迎有志青年入這個流體最大的坑！額這個。。我了解的industry的情況比較多，坐標紐約郊區的phd，cfd的話去industry基本就是靠代碼能力吧，在讀phd期間做的項目所提升的代碼能力，其實做quant的話很多東西跟cfd 有點像，都是用計算方程然後編程算算算這樣子
pde這種東西，對industry來說太高大上了，就比如說sobleve space，面quant 都是不問的，工作中也不需要，對於quant 是超綱了
去academic 的話pde是正經數學系分支下面的，計算流體這種都算不上數學系的了，會被人鄙視的，基本都在機械啊航天混混就可以了。。。。
其實去industry的話才大二直接轉machine learning 吧
老實說，你在數學系學CFD離航空航天的CFD也有好大一段距離。
孩子，大二了。
趕緊轉行吧。國內你做pde，你還打算找工作呢？還打算娶媳婦生孩子么？
我從數學系phd的角度說說吧。
核心問題就一個。你想做學術還是去industry？
這個問題你需要自己想清楚。然後才有接下來的事。
1. 如果想做學術，那麼必須要讀phd。
基礎方向的PDE和計算方向最大的區別就是他們不做計算。你可以看看Courant的Fanghua Lin, Notre Dame的Qing Han他們的工作。那就是純PDE理論，不停地在證不等式和bound。但是我確實有聽說有的做PDE的人比較水，比較好出paper。但計算這種的也不少。純數很多人不屑PDE和計算，就是說你們換一個方程同樣的方法又一篇paper。如果你決定要做PDE，最重要的工具就是泛函分析。PDE是純分析類，你要是對分析感到不是很comfortable， 還是要再考慮一下。
至於CFD，在數學系，就是計算數學，CFD只是應用。真正去做Navier－Stokes計算的人，都可以說自己在做CFD。然而以我的經驗，數學系的人做的所謂的CFD，和別的系的（比如航天航空）完全不是一個focus。很多計算的人，算不可壓Euler方程也可以說自己是CFD。但真正算可壓Navier－Stokes的人，數學系的還是少。因為那東西挑戰太大，算可以算，但理論太難。三維的解的存在性光滑性問題現在還是百萬美元問題。這個就回到了純PDE。這個問題就是PDE現在的終極問題，連陶哲軒也開始寫了一些這個問題的paper。普遍看法是，解決3D NS方程的方法還沒有發明。也就是說，在現有的PDE框架和technique下面，這個問題解不出來。當然最近陶哲軒的幾篇paper似乎又指明了一些方向。
2.如果去industry，那可以考慮CFD。
出路肯定是不少的，科研單位，大型企業。我以前做project的時候認識兩個西工大的CFD專業的碩士，就是在北京的一個研究所工作。但是你去了industry，我覺得你就不大可能在做research了。但是這個方向，你要有所作為，數學肯定不能差，說白了還是計算數學。我個人認為會運用各種CFD商業軟體計算，不叫做CFD。
現在CFD的熱點和困難大概還是湍流。湍流的計算一直是個難題。有一些著名的模型可以計算的不錯。但是你要理解那些東西，我覺得不是phd很難。
工資待遇我就不了解了。可以請有工作經驗的CFD從業者來回答。
牛逼啊年輕人。即使是數學系的大二能搞到Sobolev空間。也已經很猛很猛了。如果沒猜錯，題主是北航的吧？CFD這種小領域放在數學系的大抵是航空類院校的手法。在UIUC湍流，CFD這些是在機械系搞的。
個人認為，CFD是PDE的一個下游產品。因為CFD的大部分方法（儘管現在湍流模擬也有用統計的）就是微分方程數值求解。
當然，果斷是pde啊（如果你要撈錢）。CFD是典型的大研小產，這東西的確是一個很偉大的技術但是要快速撈錢怎能和pde比。CFD在純學術和尖端技術應用很廣，不光是分析水利問題。空氣流動，飛機製造，這是你能想到的。你恐怕想不到在設計核反應堆，尖端化工設備和理論高分子，金屬材料上這玩意也有應用。甚至在我本人的老本行，薄膜物理學與真空物理里，首先等離子體模擬肯定是用CFD。Plasma鍍膜是薄膜製備里一個大派，既有PVD的也有CVD的。裡面黑科技眾多。在薄膜生長動力學研究（是一個極其艱難的領域，當然核心理論是thermodynamics和statistical physics）里，一些前沿問題的建模也有引入CFD。你如果感興趣可以搜一些paper。
但是，還是那句話，大研小產。PDE玩的666的在各個高富帥行業都是大哥。圖像處理的高層次問題也需要PDE。比如，量化金融。一個熟練求解pde的，基本可以在任何牛逼的行業成為大哥。不過這個地方我也要給你科普一點人生的經驗。近期金融工程行業的趨勢，是，需要定價，用數值方法的需求在減少。更多的注意力在預測上面。這樣一來真正的金融工程行業的需求其實是機器學習，統計學習。
工業上應用CFD的有一個比較典型的案例是油田模擬。我印象中斯倫貝謝公司等油田服務公司開發此類軟體，就是靠CFD的理論。當然，本人並非這方面的專業人士，有專業人士可以科普一下。本人當年做另一個項目，誤打誤撞下載了一個流體模擬的小軟體。挺好玩的。好奇心重就了解了一下這行業的高端軟體。
如果特別有興趣可以考慮CFD。CFD真的挺有意思的。因為CFD說白了就是用各種方法研究N-S方程及其變種。但是只要你學好數值分析，自己看書也基本能會個大概。這方面，你可以好好搞一搞寫程序。我的朋友里研究CFD的，非常推崇Julia。當然python，matlab也能用。我相信學好數學對你絕不是問題。
題主可能也聽過另一個故事。近代力學的奠基人之一普朗特先生，本來是學機械的。後來在博士畢業以後因為對流體問題感興趣所以開始在一個機械廠開始搞流體力學。普朗特先生在二戰期間任教於哥廷根。當時美國飛機到處扔炸彈，所有人都在跑，唯獨普朗特先生衝過去看各種飛行軌跡。
年輕人，祝你成功。這個進度和對問題的分析，思考和判斷，的確可以看出是一個非常優秀，非常有想法的年輕人。祝你成功。總而言之，PDE和CFD接受完碩士階段的教育，都很難找到工作。如果題主的志向在做學術。。。不如喜歡什麼學什麼
碩士做CFD沒找到工作。。
對數學專業不了解，但就cfd本身，兼具理論(數理基礎)和實踐(設計演算法和編程)，能造就一個能力比較均衡的工程師或者應用型科學家。
題主如果特別在乎做純粹基礎研究，那麼選pde吧，但如果更對如何利用數理理論解決實際問題，cfd更合適。
我個人覺得cfd方向更能鍛煉一個人的綜合素質。
其實不必想的那麼遠，同時，多跟有見識的師長多交流，說不準什麼時候一下子就想通了。說個題外話，pde被戲稱為丐幫，因為從業人員多，入行門檻低。雖為調侃，與目前pde的研究現狀也不無關係。
pde不應該是分析的應用，個人觀點，它最大的價值是用嚴格的工具理解自然科學。目的是理解自然，手段應該嚴格，甚至嚴格性某些時候可以放鬆。目前主流的pde應該是研究方程的wellposedness(incompressible ns, boltzmann)以及某些有意義的解(kerr solution in general relativity, maxwellian state in boltzmann, shock waves in conservation law)的stability。我其實很好奇其他領域（物理，生物，神經等等）如何看待目前的wellposed結果。以前跟一個物理系研究classical gr的人聊過（在物理系也是非主流），給他科普了一下christodoulou跟klainermann的結果，他說線性的穩定性很早就知道，這個當然很好，然後就沒有然後了。。
我心目中做pde的楷模應該是peter lax, james glimm, joe keller這樣的，他們都懂物理，懂計算，但很遺憾，這樣的研究者似乎並不多。也許pde人要做的不是在分析技術上不斷雕琢，倒應該多去學學物理，多去其他領域看看，關心到底什麼問題才是有意義的（而不僅僅是在做分析）。否則我對這個學科未來的生命力挺擔心。
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