对于所有的n，多项式(6x^2+5x+1)^n和(3x^2+7x+2)^n系数的平方和都相等？

对于多项式，定义

求证对所有的都成立。

注：

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我来一个最简单的：

对于多项式f，其系数平方和 Γ(f)为f(x)f(1/x)的常数项。

原题两个多项式f,g，很容易验算f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)。

证毕。（书后答案风格）

用什么fourier变换，用什么卷积，用什么全纯函数，最简洁的就是最好的

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若是B(0,R)上的全纯函数，则，有

其中是复数的几何表示

（史济怀、刘太顺《复变函数》习题4.2第7题）

令

当时，

所以

两函数均在复平面C上解析，取r=1，则

Q.E.D.

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第一次答的时候智障了，一定是想吃夜宵+冰红茶喝完的锅（冰红茶：这锅我不背...）

溜去开水房吃了夜宵果然整个人都正常了...

高中毕业快两年了高中思维除不了了...后面的问总想用前面结论，看到提示就总硬要用上...(第一次阵亡的好惨...)

感谢 @Richard Xu的帮助...让我认识到我是个智障_(:з」∠)_

滚去睡了，古耐~

答案如下：

注：易知p、q为偶数

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其实这就是个离散卷积吧

定义A=(a_0,a_1....,a_n)为系数向量，那么Gamma(P)=|A|^2，系数向量的模平方而已

而若A--P_1,B--P_2为俩同阶多项式P_1,P_2的系数向量，那么C--P_1cdot P_2，乘积的系数向量就是卷积 convolution

即C=A*B （这里*指代卷积）

再考虑DFT(discrete fourier transform),由DFT保范性质我们知道：

|C|^2=|F(C)|^2=|F(A*B)|^2=|F(A)F(B)|^2=|F(A)|^2|F(B)|^2=|A|^2|B|^2

(第三个等号好像当成连续的情况去写了，离散的要改改啊，待会回去看看。。。）

第一个等号是DFT的保范性，第三个是DFT和convolution的性质，convolution的fourier transform等于对应函数fourier transform的乘积，这是convolution一个非常有用的性质

那么具体到这个题目就简单了

A--(3x+1)^n B--(2x+1)^n C--(x+2)^n

我们要证的不过就是：

|A|^2|B|^2=|A|^2|C|^2

即|B|^2=|C|^2

这是非常容易的：

因为|B|^2=sum_{k=0}^n (C_n^k)^2 2^k

|C|^2=sum_{k=0}^n (C_n^k)^2 2^{n-k)

做个变量替换k=n-t就知道上面这俩是一样的了~~

Q.E.D

爪机打字就偷懒不把convolution和DFT的资料贴上来了

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