什么是扩展有限元？

01-15

谢邀

这个很难回答，笼统的说法百度上都能搜到，如果从水平集函数讲起的话，真心没有水平讲的清楚，推荐两本书吧

庄老师这本应该是国内第一本吧

软件的话 ABAQUS应该是最早能实现的吧，在6.9就加入了XFEM模块，6.13以后基本上能实现CAE界面操作了，ANSYS在17.0也加入了XFEM功能。不过效果的话真的一般，他们都没有加入裂尖的水平集函数，所以裂纹停留不在单元内部，国内据说有专门开发的软件了（索晨？），没用过，所以不评价。

如果研究的话，建议自己编程序玩玩吧

传统的有限元方法对裂纹扩展问题没有有效的解决方法，其根源在于传统有限元的单元形函数是连续的，无法处理裂纹这种有位移间断的问题。扩展有限元实际上是单元形函数的扩展，可以处理裂纹间断。

刚好本人研究方向，来回答下。

扩展有限元XFEM和广义有限元GFEM其实本质是一种方法,下面从GFEM的发展上来说说这这些理论。

以下说的babuska即babuska和他的团队。

1980年左右babuska就开始提出广义有限元的概念，其实就是不满足一些多项式形函数的逼近性质，提出可以用其他的形函数来逼近变分方程弱解，这相当于是理论框架的建立。

1990年左右，babuska就一类粗糙系数的椭圆方程提出了一些特殊的有限元方法，其形函数由与粗糙系数相关的特殊的积分给出，并且证明这些方法理论上的稳定性。在证明的过程中，babuska发现了一些问题，如用特殊的形函数，有限元的协调性不好满足,只能用特殊的曲边三角形单元协调元，或者很特殊的直边一致三角形网格非协调元。然后babuska参造meshfree有限元方法的构造思路，用单元分解函数乘上形函数，这样既能使得有限元是协调的，又能使用特殊的形函数，还能让网格是meshfree的。

接近2000年左右，babuska和他们的团队并不满足之前的结果，并发现了一系列的问题。如使用单元分解函数乘上形函数这样的有限元空间，会使自由度的个数大大增加。于是他的学生开始做相关工作，并且发现对于laplace方程，使用harmonic的多项式和普通的多项式的逼近阶是一样的。并且对于helmholtz方程，利用verkua(可能记错了)的理论也可以得到特殊的形函数，从而降低自由度的个数。

还有一些meshfree方法共有的难题，比如单元分解函数pu的构造，他的学生之一使用了移动最小二乘函数作为pu，他们把这方法叫hpcloud(计算代价很大)。

对meshfree方法本质边界条件较难处理的情况，一般采用l2投影，或用拉格朗日乘子把边界限制加到方程上（可能会使最后的离散矩阵奇异）。

对于可能出现的矩阵奇异情况(meshfree的方法本来就会出现矩阵奇异，不管是不是用拉格朗日法处理边界条件)，可以采用特殊的迭代法求解，babuska给了一个，我用了下，还不错。

对于特殊的形函数(或者特殊区域)数值积分不准确，babuska他们也给了特殊的数值积分公式。

babuska并不满意这些处理方法，这也是GFEM的出发点。GFEM直接使用一次线性元的hat函数作为pu,并且不是所有的形函数都是pu乘上特殊的形函数这种形式。只有当该区域有洞或者出现间断系数，使用pu乘上handbook函数(局部问题的解)作为特殊的enrichment,其他部分都和普通的有限元一样。这样处理边界条件就能和普通的有限元一样，上述一些问题都能大大减小。只有一个例外，就是最后刚度矩阵的奇异性，最后形成的刚度矩阵还可能是奇异的或者条件数过大（因为形函数可能是接近线性相关的）。

babuska2013年的论文算是解决了这个问题，通过把形函数空间去除掉一些线性相关的部分(把特殊的形函数减去它在宏元上的插值)，可以有效的降低矩阵的条件数。(SGFEM)

最近的发展，最近的一篇文章显示，对于三维的裂纹扩展问题，GFEM可以通过解一个局部有限元问题来得到handbook函数（二维的泊松方程的handbook函数是已知的）。

2016年的一篇文章，讨论了不同enrichment的方式对泊松方程界面问题的影响，和如何使用迭代法对SGFEM的离散矩阵进行快速求解。

维基百科有详细的解释