Kalman濾波器作狀態觀測器設計時為什麼只要求被控系統可測（detectable)即可?

01-15

Kalman濾波器作狀態觀測器時只要求被控系統可測（detectable),而極點配置法設計狀態觀測器要求系統可觀（observable)，請問為什麼使用Kalman濾波器設計狀態觀測器對被控系統的要求可以放弱（即，從可觀，放弱條件到可測即可）?

簡單地回答：

系統可觀，才可配置所有極點。但只需要可測，便可保證觀測器的誤差covariance矩陣converge到steady state，

系統可測，則Kalman的誤差covariance矩陣converge到steady state，是上面說的第二種情況。

長回答如下：

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Steady-state的觀測器（包括Kalman）只要求detectable，對動態過程有要求的觀測器（包括Kalman）則要求observable。

對偶的，steady-state的控制（狀態反饋、輸出反饋）只要求（狀態、輸出）stabilizable，對動態過程有要求的控制器（狀態反饋、輸出反饋）則要求（狀態、輸出）controllable。

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1. 對於detectable的系統，優化steady-state性能，那steady-state Kalman是最優；

2. 對於observable的系統，優化其『全時間段』性能，則Kalman是最優；

3. 對於observable的系統，優化其steady-state性能，那Kalman / steady-state Kalman當然都是最優；

4. 對於detectable的系統，優化其『全時間段』性能，則Kalman是『次優』，或曰『沒有更優』，其實就是能做到的最優吧。

以上最優，是指『線性系統，加性白雜訊信號，最小方差指標』下的最優。

對應的控制，也有類似結論。

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Loosely speaking，要求觀測器極點都可配置，等價於對動態過程有要求，等價於可優化其『全時間段』性能。

再換句話說，要求觀測器極點都可配置，即要求所有mode模態都可配置，就是observable本身的定義了。相比之下，steady-state Kalman只要求不穩定的模態可配置，穩定模態自然到零。而Kalman要優化所有模態的誤差，則要求所有模態可配置，即可觀；但只需要可測，便可保證收斂，但只是優化了可配置模態的誤差，剩下的那部分是自然到零的。

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這裡岔開一句，也有稱controllable為reachable的。這樣的話，控制的痕迹就淡了，就在一個更廣泛的系統學的高度，來分析系統的性質。當然，控制中reachable又有其特定的含義。

再岔開一句，『線性系統，加性白雜訊信號，最小方差指標』其中一條不滿足，Kalman就不是最優了啊。

不可觀的模態收斂，卡爾曼就收斂了，可測即可。但要能任意配置極點則要求所有模態可改變，即可觀～