如果說芝諾悖論是對的，他到底是證明了客觀世界空間是不平滑的，還是時間是不平滑的？

01-15

我認為時間不平滑還是空間不平滑都可以成立，不需要兩個都滿足（不平滑的意思是有最小單位的粒子）

並不能回答題主什麼，只是想說，我也有過類似的思考並且記錄了下來：

由芝諾悖論引起的思考

芝諾悖論(Zeno"s paradoxes)——古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。

芝諾：「一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……」如此循環下去，永遠不能到終點。

對於這個悖論，我所好奇的是，我們每時每刻都在流逝的時間到底是如何溜走的。時間到底有沒有一個最小單位，以至於無法劃分。在物質層面上，有些人相信物質有最小構成，幾個基本粒子構成世間萬物。而對於時間，人們似乎更願意像悖論中所做的那樣去無限劃分時間，時間真的是無限可分的么？

我覺得，如果相信物質並非無限可分，那麼時間是否無限可分也許更容易尋求到答案。我斗膽給這個最小的時間做個定義：世間最轉瞬即逝的變化所需的時間。換而言之就是，一個物質的狀態從A到B所需的時間比世間萬事萬物所有的變化所需的時間都要短（小於等於哦），那麼這個時間間隔就是時間的最小單位。我們的時間都是以這個最小單位的倍數跳躍著前進的。

然而，偉大的相對論告訴咱，時間不是絕對的。假使存在我剛才所說的最小時間段，那麼這段時間在不同的觀測者眼中可能更長一些，也可能更短一些。這也就意味著沒有最短只有更短。

其實，如果相信相對論的話，有個更簡單的說法：那就是達到光速時間會停止，接近光速時間會越來越慢，換而言之無限接近光速，時間也將被無限劃分。

但相對論畢竟只是個理論，雖然相對論解釋了一些問題，也被一些觀察、實驗甚至應用所驗證。但畢竟還沒有得到證實。

補充一點：

如果相信物質並非無限可分，那麼尺寸就存在最小單位，用速度不變的光（相對論的公理）通過這段最小距離的時間定義最小時間單位，同樣會遇到尺寸是相對的這個屏障（大多數人知道相對論有時間相對這一推斷，卻不知還有空間相對這茬）。

時間有最小單位么？

時間是2012-12-7

這個問題之前考慮過，上課的時候也聽不同的老師提到過（有數學史的老師，但是竟然也有講現代美學理論的老師 -_-|||），去年受@Eric Kong 的啟發（在前面那個 @暮塵回答的評論區），一直惦記著這個問題，把知乎上相關的內容都翻了一下，在此梳理一下思路：

一、某種常見的解釋

這個問題大學的時候和哥們討論過，對於為何飛矢看似不動，他說：「對啊，雖然箭不動，但是有速度啊~」

這個說法用理科的黑話來表述就是：

這傢伙把坐標和導數搞混了飛矢不動如何理解？ - @西門戲水的回答
位移和速度的關係都搞不清么？一隻飛行中的箭，將時間... - @柴健翌的回答

總之，這樣的觀點是：如果時間凝固，那麼飛矢雖然沒有位移，但是有速度，正是這個「速度」，讓飛矢能繼續前進，從而有別於靜止的矢。

乍一想，蠻有道理。但仔細一想，還是覺得似乎哪兒不對：

那麼「速度」這個信息存儲在哪裡呢？

或者也可以這麼問：

那麼那時候的箭跟靜止的箭有什麼區別呢？時間恢複流動過後它怎麼「知道」自己是應該繼續飛出去還是掉下來呢？飛矢不動你們聽說過么？ - 微民網

舉幾個例子：

如果我們在電腦里玩賽車遊戲的話，那麼玩到一半按ESC來暫停，再敲ENTER繼續遊戲時，賽車還是能按照暫停前的速度繼續跑的。這是為什麼呢？因為遊戲程序里肯定是有一個變數來儲存遊戲賽車的「速度」這個值的，進而這個值是寫在電腦內存的某個地址下的【然而，真實的物理世界並不是上帝的模擬器，不可能有一個神秘的計算機來儲存物體的速度】。
再比如，物體的質量的信息可以說是「儲存」在它包含的原子數量上的，物體的溫度也可以說是「儲存」在組成它的分子的速度中。【然而，飛行中的箭，與不飛的箭相比，質量、溫度啦等等肯定都沒有變化】。

所以，如果說 ——「單考察某個位置的飛矢，儘管沒有位移，但是有速度，所以說『飛矢不動』悖論就解決了」，那麼我就想問，你說速度能解決一切，那麼這個叫做「速度」的物理量在哪裡？

下面我們先來考慮一個情境。

二、從兩張照片開始

假設我們有兩支箭，第一支是芝諾的飛矢，第二支不讓它飛（比如用威亞吊在空中讓它靜止）。

然後同時用高速快門對兩支箭曝光，分別得到兩張照片給你看，那麼能否分辨出到底哪支是飛矢、哪支是靜止的矢呢？

我們下意識會覺得，兩張相片應該完全一樣。

但是，理智告訴我們，它們兩者之間一定有不同（否則就會感覺有些玄），而這個可能找到的「不同」應該就是我們要找的「速度」所在。但是找來找去，發現很難找到。

「速度」更玄了。

三、什麼是速度

定義：

一個物體的速度是它在一個參考系中的位置的變化率。 Velocity - Wikipedia

根據這個定義，「速度」這個概念的存在前提似乎就是位置的變化（位移），即必須先有位移、才能據此算出速度。

（注意，這與一開始的「解釋」恰好相反，因為上面的觀點恰恰說「飛矢在那個瞬間可以沒有位移，但是卻有速度」）

所以很顯然，在討論飛矢不動的問題上，絕對不能使用「速度」這個概念了。

那麼一開始的回答是哪兒錯了呢？為什麼之前「沒有位移」，卻又能求出某點的「速度」呢？

我覺得是這樣的：

中學物理我們做運動學計算題時，都是這樣解題的：

也就是說，我們習慣於在運動的物體身上畫個箭頭來記錄速度，把「速度」當成物體的一種屬性，或者說一種狀態量（對應地，在遊戲程序里，也是用一個獨立於物體的「變數」來描述速度）。這樣的話，很自然地會出現「求滑塊在XX秒時的速度」的說法。

然而，如果吹毛求疵的話，這種說法是不嚴格的。

我們雖然會說「某點的速度是XX」，但這句話的意思並非很顯然，也不很符合直覺。嚴格的來說，它的意思其實是：

這個點的速度是根據它前後的點的算出的（而非「沒有前後點、只孤立地由這一個點算出速度」） 。

（因為從微積分上說，速度這類導數本質上是一個極限，而我們說「某點的極限」，一定是根據它周圍點的狀態計算出來的，不能憑空來求一個孤立點的「極限」。所以質量、溫度可以是狀態量，但是速度只能是過程量，必須給出一段時間的位移才能算出。關於這個問題，強烈建議看下這個問題里的回答，答主們解釋的都超級好，裡面也提到了飛矢不動悖論：如何理解導數的概念 ? - vczh 的回答）

總之，離開位移談速度的都是耍流氓。

一句話，如果芝諾討論的是「時間凝固」的情況的話，那麼我們就不能引用「速度」這個術語來解決，因為芝諾的情況超出了這個術語的適用範圍——速度本來就只能對時間段而言的（短點兒沒關係，無窮小也無所謂，但是不能沒有）

四、什麼是瞬間

下面重新回到芝諾問題。

飛矢不動問題的原話是這樣的（是芝諾和他學生的對話）：

「可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」

- 「有的，老師。」

「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
- 「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」

「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」
- 「不動的，老師」

（引自另一個知乎問題飛矢不動如何理解？ - 哲學）

芝諾緊抓「瞬間(instant)」發問，所以什麼是「瞬間」很重要，我們有兩種選擇：

1.把「瞬時」理解為一個時刻（zero duration, 即歐氏幾何的「點」）。

2.把瞬間理解為「極短的一段時間」（finite interval, 時間長河裡的一個很薄、但是仍有厚度的切片）

如果理解為「時刻」的話，那麼就會出現上面的困難，即找不到速度這個量「儲存」在哪裡。

況且，「時刻」在現實中真的存在嗎？不。如同完美的圓是不存在的，幾何上完美的點也是不存在的，它們都僅存在於人類意念，純粹是一種思考模型。

所以度娘說的好：

瞬間：表示極短的時間，是一個時間段，再短也是一段時間，時間是連續的。飛矢不動 - 百度百科

所以如果我們拋棄了「時刻」的概念，我們就找到了上面兩張照片的不同：

我們對飛行中的箭拍照，總會有殘影，類似於延時攝影那種（當然，曝光時間越短殘影越小，但是永遠不會消除，但是因為往往會超出肉眼可分辨的範圍，所以常被我們忽視）
而對靜止的箭拍照，無論怎麼放大，邊界都會是清晰的，沒有殘影；

現在我們至少為「速度」找到了安身之所。

這其實正是說明了凡是運動，必須要消耗時間(用微積分的語言來說，對某點求導肯定是要結合這個點所在的區間的)，所以如果沒有時間（或者位移），就沒有速度。

五、什麼是位置

上面，我們消解了「時刻」這個概念的真實性，然而緊接著會發現，這會得到一個狗血的推論 _|||：

1.飛矢在某個瞬間不具有一個位置；

2.飛矢在某個瞬間並不佔據一定的體積。

因為「時刻」（時間維度的幾何點）與「位置」（空間維度的幾何點）是一一對應的，所以不存在時刻，就不存在「位置」了。

這聽起來有些奇怪，但不妨舉一個更明顯的例子：

小明早上上學，從出家門到進教室（一共花了比如一刻鐘），那麼請問這段時間裡：

1.他有一個固定的位置嗎？（答：沒有，因為他一直在走啊，他划過的是段軌跡而非單一定點） 2.他佔據的空間和他自身的體積一樣嗎？（答：不一樣。因為如果用超超低速快門給小明這段時間拍照的話，比如曝光時間是15分鐘，那麼他在底片上的存在是一條光路）

1秒的快門，400mm鏡頭，拍攝倫敦紳士。選自網路

所以「小明上學」這個過程（歷時一刻鐘），和「飛矢」的某個瞬間（比如歷時0.01秒），本質是一樣的，而只有量的些微差別。體現在相片上，就是殘影的長短了（但無論如何都不能消除）。

也就是說，如果我們認為「時刻」的概念不存在，那麼習慣上的「位置」這個概念也被否認了，即：

只有靜止的物體才有確定的位置，而對於運動中的物體，永遠都不存在一個確定的位置（至少不能用某個點來確定，而只能是給出一個範圍，一個「區間」）。

所以，談及位置，雖然數學上對應的是一個完美的幾何點，但現實生活中則是對應一段長度或面積（類似數學上的所謂「鄰域")

比如，我們打電話說「爸，我已經回學校了！」，學校就是一個位置，但是卻不是一個幾何點，而是半徑在1公里左右的一塊「面積」。

所以，真實的飛矢，不存在一個以「點」來標記的位置，只能說它大致處在某個空間範圍內（比如，一個以誤差為半徑的鄰域），而這個範圍內的飛矢，也不曾靜止。

所以把「位置」的含義從幾何點泛化為一個長度或者是面積，並不是一個大逆不道的事情。

重新回顧開頭的「芝諾悖論」：

「可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」
- 「有的，老師。」 //其實

「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
- 「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」

「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」
- 「不動的，老師」

也就是說，這種語義下，芝諾的前兩句話都是錯的，第三句「飛矢不動」也就推不出了。

對飛矢不動的討論至此也就結束了。

======================以上正文結束===========================

附：可能有用的補充材料

1. 真人電影的每一幀都是模糊的：

以往的每秒24幀電影看起來也許還行，但事實上其每一幀都會有模糊(blur)，尤其是在快速運動的鏡頭中。為什麼電影要從每秒24幀走向48幀？ - 果殼網

這個的本質是，把真實世界中的一個極短時間段內的運動沿著時間維度投射到底片上的。

2. 電子遊戲（以及動漫）的每一幀都是絕對清晰的：

……遊戲畫面渲染，是單幀渲染，前一幀和後一幀是單獨進行渲染的，兩個完全獨立的畫面。因此……當畫面快速運動時，玩家並不能感覺到周圍物體的拖影效果，因而會覺得畫面乾澀且不真實。那些讓遊戲變的更真實的視覺技術 - 果殼日誌

芝諾的飛矢問題是前者（即討論在有時間長短的「瞬間」），但是往往會被以為是後者（即長度嚴格為0的「時刻」）。

如果是後者的話，那麼運動確實是不平滑的，會從一個位置突然跳到另一個位置，儘管視覺上看不太出來，但是如果大大放慢時間的話，還是會看出來的（類似「分分鐘卡成幻燈片」），但是似乎大自然並不會有這種效應。

3. 數學上是一直都採用「點」這個概念的。但是既然點的長度是0，而線段的長度卻不為0，照理說無窮多個0相加仍然是0，那麼數學上怎麼解決這個問題？按上面的討論，應該認為線並不是由點組成的，而是由更短的線組成的。然而似乎正規的數學裡並沒有這麼簡單。找到了下面這篇文章，後半段有解釋，我沒太理解，先放在這裡，以後想明白了再說：長度是怎樣煉成的（三） - 科學松鼠會

芝諾悖論什麼都沒有證明，只是說日常生活對於運動和靜止的概念的定義不嚴謹才產生了這樣一個悖論而已。

取慣性係為參考系，對於一個質點，靜止是代表他沒有速度還是沒有位移呢？

而且人民習慣把靜止定義為無位移，在宏觀(大時間範圍)上，二者幾乎等價，所以日常生活中這樣的概念幾乎沒有問題。

但是如果涉及到無窮小（即高數中極限的概念）時候，習慣定義就出問題了。任何一個有速度為有界量的物體在任意時刻（時間的無窮小量）上的位移都為0。所以解決芝諾悖論只能是嚴格化對靜止的定義。

以v(t)表示質點速度隨著時間變化的函數，用更嚴格的數學語言來定義：

質點在 $t_{ 0}$ 時刻靜止 $Leftrightarrow$ $exists U(t_{0} , delta ),forall tin U(t_{0} , delta )$ ，使得v(t) = 0.

通俗點說就是質點在 $t_{ 0}$ 時刻靜止等價於質點在在 $t_{ 0}$ 時刻無速度，無加速度，無加加速度，一切間接改變位移的量都為0.

那麼芝諾悖論不接解決了，那一隻箭時時刻刻都是有速度的，所以他時時刻刻都是運動的，整個過程也是運動的。

至於真實世界是不是躍遷的，那不重要，只要建立在相應理論上的模型能夠描述世界，解釋相關事實。那就可以了，牛頓力學如實，相對論如是，量子力學如是。

無論時空是否無限可分，芝諾悖論都是錯誤的。

說到底時空無限可分，只是這個問題中的一個題設。

無論在無限可分還是非無限可分的時空中，這個問題都是能提出來的。而且一定會有同樣的結果。

只不過這些結果在有的時空中描述現實，有的不描述罷了。

然而這無關緊要，因為數學不一定要描述現實。

芝諾假設1時間和空間可以無限劃分出更小的

2在新劃分的下小段時間，後者是追不上前者的

3是一個更加基本的假設，無窮個數相加等於無窮大！因為無限時間所以追不上。

假設3是微積分發明後才知道那是錯的，在芝諾的情景假設中，無限段越來越小的時間相加其實是個有限數。

不管是不是無限光滑、都可以在其上定義積分運算、有啦積分運算兔子就可以跑贏啦~~

兩個都是可以的，因為無論時間和長度，都有它的最小度量

比較感興趣回答下。

首先我認為芝諾悖論內在的是指時空的連續性。當把芝諾悖論建立在時空的不連續性上，這個悖論完全就可以解決。或者說就不會存在這個悖論。而時空的不連續性，正是最近一百多年蓬勃發展的量子力學的基礎。

其次，就普通來說，上面的話之前可以把時空替換為空間，但物理學已經證明，時間和空間其實是不分離的，也就是說只有時空之說。

所以，當成時空好點。

非物理及相關專業，僅供參考。

空間。當兔子與烏龜的距離是一個量子長度時，一躍而過，不會再分。