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複合函數變限積分求極限問題？

01-15

設f(x)在點x=0的某鄰域內連續,且f(0)=0,f"(0)=1,計算lim(x→0)1/x^4∫(0,x)tf(x^2-t^2)dx
答案:

問題:不進行換元直接用洛必達法則，
分式上部為f(x^2-x^2)-2x^2f"(x^2-x^2)=-2x^2
分式下部為4x^3

得到答案為-∞
問題出在哪裡？

這種變限積分求導必須換元，因為自變數裡面同時有 x 和 t，這時的變限積分被積函數不只是t 的函數，而是x和t的函數

舉個簡單的例子你就應該懂了

$frac{d}{dx}left[ int_{0}^{x} f(x) dt ight]$

注意是f(x)，dt

$= frac{d}{dx}left[f(x) int_{0}^{x} 1 dt ight]$

$= f$

你看，如果f 的自變數裡面有x，應該當作常數拿到積分符號外面，如果同時有 x 和 t 呢？

為了消除其中x的成分，你只能換元，然後把x 的成分放到積分上下限裡面。

Q: 既然f(x)不是被積函數，那為什麼不能看成常數，進行求導呢？

A: 舉個更好的例子，不妨設f(x) = x，滿足f(0) = 0, f"(0) = 1;

原式變為

$lim_{x ightarrow 0}{frac{int_{0}^{x} t(x^2 - t^2)dt}{x^4} }$

顯然x不能當常數

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