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請問量子力學波函數傅里葉變換前的係數到底怎麼確定？

01-15

初學量子力學，請問上面兩個式子傅里葉變換和傅里葉逆變換前面的係數（如下）是怎麼回事？求大神指導

之前學習高等數學時學到的傅里葉變換是這樣的（如下）

是這樣的，傅立葉變換有好幾種定義的形式，你的圖中高數書上那種是定義在角頻率空間上的變換。這樣定義的傅立葉變換和逆變換是「不對稱」的：

$F(omega)=int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-iomega t}dt$

$f(t)=frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{iomega t}domega$

就相當於在傅里葉積分公式中

$f(t)=frac{1}{2pi}int[int f(xi )e^{-iomega xi}dxi]e^{iomega t}domega$

把式子中中括弧部分定義成傅立葉變換，那麼其餘部分包括外面那個係數就是逆變換。

另一種定義方式，也就是你量子力學書上的是把上面式子中的 $2pi$ 平分到變換和逆變換中去，那麼傅里葉變換就變成如下的樣子：

$F(omega)=frac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-iomega t}dt$

$f(t)=frac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{iomega t}domega$

這樣定義的傅立葉變換是一個酉變換。

然後把傅里葉積分公式推廣到3維：

$psi (vec{r})=frac{1}{(2pi)^3}int[int psi(vec{xi})e^{-ivec{p}cdot vec{xi}}d^3xihspace{1mm}]e^{ivec{p}cdot vec{r}}d^3p$ ，其中 $d^3x riangleq dx_1dx_2dx_3$

做一步換元，把 $vec{p}$ 換成 $frac{vec{p}}{hbar}$ ，則上式變成：

$psi (vec{r})=frac{1}{(2pihbar)^3}int[int psi(vec{xi})e^{-ifrac{vec{p}cdot vec{xi}}{hbar}}d^3xihspace{1mm}]e^{ifrac{vec{p}cdot vec{r}}{hbar}}d^3p$

再根據前述第二種定義的傅立葉變換得到

$varphi (vec{p})=frac{1}{(2pihbar)^{3/2}}int psi(vec{r})e^{-ifrac{vec{p}cdot vec{r}}{hbar}}d^3rhspace{1mm}$

$psi (vec{r})=frac{1}{(2pihbar)^{3/2}}int varphi(vec{p})e^{ifrac{vec{p}cdot vec{r}}{hbar}}d^3p$

Ps...你是怎麼邀請到我這個三無用戶的……

有幾處筆誤。。。。寫的太匆忙，本徵值下面的式子等號右面左乘x的bra 積分式子最右側是x兩撇的ket

用狄拉克符號其實更簡單，放圖(忽略丑字)

對於初學者來說，最可怕的就是這種「不難想到」。

看起來像是概率密度要除一個動量空間里的體元 $h^3$

概率密度平方絕對值在勢井內的積分和為1……不知道說的對不

可以看看薛定諤方程stationary state 的推倒…不含時？ eigenvalue的計算應該就是你問的這個了……推倒你這一步好像還得看到…能態密度？

前天才考完量子力學，學的很淺不知道對不對不對錶打我啊……給你畫個大概推倒具體推到你那一步應該不遠了自己試試吧……明天還有考試我先洗洗睡了

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