正無窮除以i等於無窮，這個是如何得出來的？

01-15

今天上課老師本來在講無聊的極限問題，於是我突發奇想正無窮除以i會是什麼，
老師解釋是「Infinite, not positive nor negative.」

但沒有解釋原因以及怎麼得出來的

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首先我們要明白，什麼是實數，什麼是複數。

實數域不包含無窮！實數域不包含無窮！實數域不包含無窮！

實數只包含正數，負數和零。你可以理解為 $mathbb R=(-infty,,+infty)$ 。注意這裡只是說理解為，但是無窮 $infty$ 在這裡並沒有定義！對於實數通常有兩種緊化方式，並由此我們給出無窮的概念：

1. 最常見的兩點緊化，再賦予代數結構，此時稱為擴充實數，通常記為 $overline{ mathbb R}=[-infty,,+infty]$ 。具體介紹可看維基百科，但是我想強調的是，此時擴充實數不是域；它甚至連環都不是：因為你無法定義 $-infty+(+infty)$ ，加法不是群！

所以請不要把正負無窮加入實數中稱之為實數域！

2. 一點緊化，再賦予代數結構，通常稱為Real projective line。此時沒有正無窮負無窮，只有無窮。關於一點緊化，可參看Alexandroff extension。注意此時它也不是域結構，因為乘法(對於去掉加法零元後的集合)不是群！

同理，對於複數域而言，它也不包括無窮！因為複數有實部和虛部，並且都是實數！對於複數而言，通常無窮的定義也是可以通過一點緊化得到的。此時緊化後的複平面同胚於球面，稱為Riemann sphere（黎曼球面）。這時的無窮可以視為球面的北極點，沒有任何符號。對於運算而言，如果 $z$ 是任意非0複數，就有

$frac z 0=infty.$

但是你依舊無法定義 $0 imes infty$ (我這裡的意思是，無窮沒有逆元). 因此此時的擴充複數 $overline {mathbb C}$ 也不是域結構！

當明白了這一點，我們可以發現題主的問題是錯的。擴充複數上沒有正無窮的定義。如果考慮擴充複數上的無窮除以 $i$ , 答案就是老師給出的結果。

複數域中的「無窮」包括了任意模為無窮大的複數，當然是沒有正負的

如果簡單地把實無窮的概念應用到複數的實部虛部的話，會寫出像1+∞i這樣的數，而這樣的數的運算是不滿足複數域的許多性質的。而單獨用一個∞表示所有模為無窮大的複數則不太會破壞複數域的結構。因此複數的無窮是這麼規定的

得先明白在複數域下無窮的定義一般以模長定義無窮因此一個模長趨於無窮的數除以i 應該還是一個模長趨於無窮的數

matlab開機好慢啊

答案是：負無窮i

&>&> +inf / (1i)

ans =

0 - Infi

你們老師說錯了唄。

請定義正無窮

首先如何定義正無窮， 1,如果你的正無窮指的是在實數上的，那麼設m為充分大的實數，m除i為-mi ，這時m趨於無窮可知得出的數為負無窮大的虛數。 2,如果正無窮指的是複數域上的，設為a+bi a和b都是正實數時得到 -ai+b, 這時得到處於第四象限的無窮數。 3,若指的是a+bi a為正數，b任取，則得到2,3象限的無窮數，關鍵看正無窮如何定義，藉助充分大的a b為媒介就可以具體化了，，，