如何判斷時間序列是否是白雜訊？

01-15

純醫學背景學時間序列，只會用R，做題目：某對數收益率是否白雜訊？
直接用Box.test()?這個函數我之前學是建模後判斷殘差是否為白雜訊的，搬過來可以不?

先簡單講講白雜訊特點，和test方法，然後上R代碼

白雜訊(對一系列的e1,e2,e3.....et)定義就三個條件：

1.E(et)=0

2.Var(et)=a^2

3.Cov(et,es)=0 （其中t不等於s）

而檢驗一般用Box-Ljung test，公式如下：

R代碼如下：

set.seed(111) #####生成正太隨機數 ds=rnorm(1000) #####Box-Ljung 檢驗 Box.test(ds,type="Ljung",lag=log(length(ds)))


Box-Ljung test

data:  ds

X-squared = 5.4432, df = 6.9078, p-value = 0.5957

#####p值大於0.05，說明接受為白雜訊，下面畫畫圖：

White noise 的定義是：如果 $epsilon _{0}$ , $epsilon _{1}$ , ... , $epsilon _{t}$ , ... 是一系列獨立隨機變數，並且對所有的 $t$ ， $Eleft( epsilon _{t} ight) =0$ , $Varleft( epsilon _{t} ight) =sigma ^{2}$ ，那麼{ $epsilon _{t}$ } 是一個 (weakly) stationary process，同時也是一個white noise process.

分開來講的話，

$Eleft( epsilon _{t} ight) =0$ 不依賴於 $t$ 。

$Varleft( epsilon _{t} ight) =sigma ^{2}$ 也不依賴於 $t$ 。

The autocovariance function:

$Covleft( epsilon _{t}, epsilon _{t+k} ight) =_{0, k e 0}^{sigma^{2}, k=0}$

也就是說autocovariance 只依賴於k, 而不是t。

ACF:

$ho left( k ight)=Corleft( epsilon _{t} , epsilon _{t+k} ight)=_{0, k e 0}^{1, k=0}$

以上就是理論上的white noise。

如果想用R來判斷是否是white noise，可以從time series 和 acf 的圖像上來分析。

time series 的圖像可用 ts.plot() 來看。從數學的定義可以看出，期望為0，方差固定。也就意味著圖像基本上在y＝0這個軸上上下波動，而且沒有遞增或者遞減的趨勢。比如下面這樣的：

另外，acf 的圖像可用 acf() 來看。從數學的定義可以看出，當t=0時，acf=1，其他時候acf＝0。實際情況中acf不等於0，而是非常接近0。比如下面這樣的：

R的代碼如下：

w = rnorm(500,0,1)

ts.plot(w, main="white noise")

w.acf &<- acf(w, lag=48, main="white noise")

w.acf

經趙八萬童鞋提醒，發現之前寫嚴了白雜訊定義。

兔子不才，認為已有的回答貌似沒有區分開【弱平穩】和【白雜訊】這兩個概念呢~

首先，我學的教材是Jonathan.D.Cryer和Kung-Sik Chan的Time Series Analysis with Applications in R（基於R軟體的教材，很不錯，推薦問主有空翻翻~），書中對於平穩性和白雜訊的定義如下：

嚴平穩：
如果對一切時滯k和時點 $t_{1}, t_{2} ,...,t_{k}$ ，都有 $Y_{t_{1}} ,Y_{t_{2} } ,...,Y_{t_{n} }$ 與 $Y_{t_{1} -k} ,Y_{t_{2} -k} ,...,Y_{t_{n} -k}$ 的聯合分布相同，則稱過程{ $Y_{t}$ }為嚴平穩的。

弱平穩（二階矩平穩）：
1.均值函數在所有時間上恆為常數；
2. $gamma _{t.t-k}=gamma _{0,k}$ ，對所有的時間t和滯後k，也即協方差函數只依賴於時間的滯後長度。
白雜訊：
不相關的隨機變數序列{ $e_{t}$ }。

顯然，白雜訊過程是嚴平穩的，它的要求比弱平穩要高。

然後，判斷如何判別白雜訊。我只在做殘差分析時需要判斷序列是否為白雜訊，不過原理應該是一樣的~

1.畫時序圖，看是否具有某種明顯的趨勢，以及前後波動的幅度是否大概相同。

2.畫樣本ACF圖，看序列是否自相關，這部分前面的回答已經講的很詳細了，我就不贅述了。但是此時能說明的只是是否自相關而非是否獨立，總所周知，不相關與獨立是不等價的。所以，往往我們會做正態性檢驗（比如QQ圖， Shapiro-Wilk test, Kolmogrov-Smircling test, Cramer-von Mises test, Anderson Darling test, Jarque-Bera test），希望得到模型是正態的結論，再利用正態變數的獨立性與不相關性等價這一性質來進一步得到序列是獨立的結論。

另外也可以用非參數（不依賴於對總體的假設，所以此時無須進行正態性檢驗）的方法 Wald-Wolfowitz runs test來檢驗是否獨立。零假設為獨立，備擇假設為不獨立。高於或低於中位數的遊程被計數，遊程比較少意味著正相關，遊程太多意味著負相關。相應的R代碼為runs(rstudent(model)).

這學期剛學完時間序列，理解得不對的地方歡迎指正。

引用一段來自wikipedia關於白雜訊的定義：

In signal processing, white noise is a random signal with a constant power spectral density』

翻譯過來為『在信號處理中，白雜訊是一個有著恆定的功率密度的隨機信號。』

據我個人經驗和理解，白雜訊在時間序列中的意義就是看它到底有沒有自相關。

而檢驗一段時間序列是否存在自相關性，個人認為最直接有效的方法是做Ljung-Box Q test,

設 $m=ln(n)$ m為滯後時間位數，n為樣本大小（即樣本中t對應的個數）。

而如果你要寫論文的話，可以把ACF圖放進去，這樣會顯得更直觀。

很抱歉的是，本人是用matlab的，並不會用R語言，希望懂R的同學幫忙補充。

而 @趙兔子童鞋的回答其實是把問題帶到了正態雜訊，和白雜訊是不同的。iid是白雜訊的一種情況，但它並不能代提白雜訊的概念。

歡迎討論希望可以幫到題主

可以，這是經典假設檢驗。

再加一條，spectral density是常數，就肯定是白雜訊，具體的R用哪個包我還真不了解，但是這個方法我認為是最簡單粗暴的

算功率譜分布power spectral density distribution，白雜訊功率譜是常數。

請問如何確定lag 是多少，上課時候走神了，不太理解這個，在practical 時候用R做，同學說，隨便設置，瞬間懵逼