一條長度為一的線段隨機分成五份,其中至少有一份>四分之一的幾率是多少?
數學問題,這道題有怎麼樣的解法呢?
首先回憶 ,其中 ,這個方程有 個解。
那麼考慮 ,那麼 和 是一一映射的。而 的意義就是從 中從小到大選 個數(第 數是 ), 的意義就是它們之間的距離。現在記這個為我們的整體樣本數數量。注意我們就假設這裡每個樣本對應的概率都是一樣的。這也很符合常識,每一個 的概率(假設均勻分布)是一樣的。
現在我們給每個 一個下界 ,即 ,那麼在這些限制下,原方程就只有 個解了。那麼對應的概率 。這個概率可以被解釋為把c個點分成n個部分,同時滿足對所有 都有 的概率.
現在我們來考慮連續情況,忽略嚴謹性,我們假設離散情況的極限收斂於連續情況。
考慮一條長度為1的線段,它被切成 份,那麼設對應長度(依次)為 , 那麼對於一組下界 ,我們想求 。
利用離散時的結論,我們把這個長度為1的線段看成是 個點組成的點列( 很大),那麼 ,所以
我們這可以用Stirling"s approximation,注意 ,經過化簡
。(從這個答案來看,我這種方法可能稍微麻煩了一點,可以直接說從 中選 個點)。
Ok!剩下的事情就簡單了,現在題目中要我們切五份,求至少一份大於0.25的概率,數學上就是說
求 。根據容斥原理
。
帶入之前的公式,答案就是
可以說是相當高了。
以防萬一,我用c++簡單驗證一下。
#include&
#include&
#include&
#include&
#include&
using namespace std;
double rand1() {
return rand() / (RAND_MAX + 1.);
}
int main() { 結果:
srand(time(NULL));
const int n = 5;
vector&
const long long int times = 10000000;
long long int count = 0;
const double thread = 0.25;
for(long long int i=0; i&
for(int j=1; j&
}
if(1-slots[n-2]&>0.25) successQ = true;
if(successQ) count ++;
}
cout &<&< "success counts: " &<&< count &<&< " in " &<&< times &<&< " experiments" &<&< endl;
cout &<&< "probability: " &<&< (double) count/times &<&< endl;
return 0;
}
跟理論值還是有點接近的。
又跑了個十億的玩玩
越來越接近理論值了,嗯吃雞去了。
在5維空間中0& 其中δ(x)為狄拉克delta函數。用mathematica可以求出等於1/24:Integrate[DiracDelta[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 - 1], {x1, 0, 1}, {x2, 0, 1}, {x3, 0, 1}, {x4, 0, 1}, {x5, 0, 1}]
而5維空間中0& 用mathematica可以求出等於1/6144:Integrate[DiracDelta[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 - 1], {x1, 0, 1/4}, {x2, 0, 1/4}, {x3, 0, 1/4}, {x4, 0, 1/4}, {x5, 0, 1/4}]
因此分五分每一份都小於1/4的概率為:24/6144=1/256=0.00390625
而分五份至少有一份大於1/4的概率為:1-1/256=255/256=0.99609375
————————具體計算————————
計算中要利用Delta函數的積分性質:
其中c為任意常數,θ(x)為海維賽德階躍函數。
還要用到階躍函數的積分性質:
......
具體計算就是一層一層積分:
其中I5為:
帶入有:
其中第一行等號右邊的第一項積分顯然等於1,而I4為:
帶入有:
其中I31、I32分別為:
再帶入……
後面就不具體計算了,輸入公式太麻煩了。總之計算稍微有些繁瑣,但是只要熟悉了δ(x)函數和θ(x)的積分,每一步都是簡單的初等積分。
已經有了利用積分,很標準的解法。以下解法只需要用到排列組合的知識,提供一個新的思路。(因為在手機上,不會編輯公式,圖也很渣)
同樣,考慮所有線段長度都小於1/4的概率,那麼1減去這個概率就得到了答案。這五個線段的長度,由切割線段的四個點的位置所決定。因此與其考慮五個線段,我們只考慮這四個點的位置。
為了簡化問題,可以將線段從左到右分成四個長度為1/4的分區。若任意兩個切割點在同一個分區,則必然有一個分區內沒有切割點,也就意味著某兩相鄰點之間距離大於1/4。因此每個分區都必須有1個切割點。如圖所示,A,B,C,D是四個落在四個不同分區的四個點。而四個點落在不同分區的概率是:4!/4^4。但是僅僅是這四個點落在不同分區的約束性還不夠強。比如說要想讓AB的長度小於1/4,那麼B到其所在分區的左端的距離,要小於A到其所在分區左端的距離。為了可以視覺化這個問題,我們將四個分區並排擺列,然後將這四個點投影在一個長度為1/4的分區上。因為投影重合的概率是0,在下面的答案中默認DCBA四點的投影沒有重合。
為了滿足兩點之間距離小於1/4,在投影上,A要在B右邊,B在C右邊,C在D右邊。這樣問題就被大大簡化。那麼DCBA排列的可能性是多少呢?假設同一個投影,交換切割點的名字,比如圖中的點A和B的位置,得到排列DCAB。而A和B這個名字,代表了切割點所在的分區,因此交換名字A,B得到了不同的切割點位置。這樣DCAB並不滿足所有線段距離小於1/4。也就是說對於同一個投影,對應著的切割點排列的數量等於A,B,C,D這四個名字的排列數量=4!。而符合要求的排列只有DCBA這一種。因此,所有線段都小於的概率是:4!/4^4*1/4!=1/256。因此至少有一個線段長度大於1/4的概率是255/256。考慮幾何概型:
注意到需要 的積分下限需要小於上限,即
同理
實際上,
將 的最大值放寬到 ,
n_success &<- 0
n_trial &<- 100000
for (i in 1:n_trial) {
r &<- sort(runif(4))
x &<- c(r[1], diff(r), 1-r[4]);
if (any(x &> 0.25)) {
n_success &<- n_success + 1;
}
}
print(n_success / n_trial)
[1] 0.99639
--------------------------------------------------------------------------------------
不知道對不對。。。
原回答 不嚴謹
且 解題難處在於 並不是獨立同分布。不妨反面考慮 且 。
考慮:
於是四維棱長為 立方體除以棱長為 立方體就是
所求概率就是
看著答案猜解法(已知答案是1/256):
我們知道一個圓上隨機取3點,連成的三角形包含圓心的概率是1/4。做法是取每一點的對稱點,一共有2^3=8種取法,其中只有2種是包含圓心的,所以概率是1/8*2=1/4。易知三角形包含圓心==三段弧每一段長度不超過1/2。所以試圖用這個解法猜一下:
在一個圓上隨機取N個點,對每個點作將圓(N-1)等分的對稱點。假設在這些對稱點中隨機選取,那麼一共是(N-1)^N種取法。在這些取法中有且只有(N-1)種是使得每一段長度不超過1/(N-1)的【這個是猜的】。所以概率是1/(N-1)^(N-1)。代入3,得到1/(3-1)^(3-1)=1/4。代入5,得到1/(5-1)^(5-1)=1/256。可以推廣:任意取4個點,沒有一段線段長度長於1/3的概率是1/(4-1)^(4-1)=1/27,等等等
【猜的部分的證明】證明貌似也不難,把5*4=20個點畫在圓上(每4個點為一組把圓4等分),易知在任意1/4長的圓弧上有且僅有5個點。所以需要取的5個點的順序就是在這段圓弧上的點的順序。容易證明有且僅有這一種取法。根據對稱性,有4種等價的取法(每種就是轉1/4)。這個解法基本上和 @無知的耗子 的解法差不多。
作個圖(以圓上任意取4個點,沒有一段線段長於1/3為例):
- 隨便取4個點,假設是紅藍綠黃;
2. 作這四個點對圓3等分的對稱點。易知隨便取一段1/3長的弧,弧上有且僅有4個點;給這些點隨便編個號:
3. 所以將圓分成4份,並且沒有一段圓弧長於1/3的取法有且僅有3種:綠1紅3藍2黃1, 以及另外2種對稱的取法。
4. 因為一共可能的取法有3^4種,所以最後的概率就是3*(3^(-4))=1/27.
講個簡單可以推廣一些的方法吧
感覺很多答案沒說清楚,就是隨機分成五份的含義,不想深究的可以直接看後面部分的解答。
取 ,4個分位點記為
記
隨機分成五份這裡應該是理解為, 的聯合密度函數 在超平面 是個常數,
但是實際上這玩意是沒有正常的密度函數的,一種解決方法是用狄拉克測度,即
另一種理解可以認為 是[0,1]上均勻分布的順序統計量。
當然這兩種理解是一樣的。其他理解應該也有,只不過我覺得這個事情還是要說清楚
解答:
要求長度為1的線段隨機分成n分,至少有一份大於a的概率。
根據容斥原理,
注意到
根據上面對隨機分法的討論,可知 的在 上的密度
當 時,
做換元
所以
實際上從 @bus waiter 的結果很容易看出這個形式
最後結果自然就是0.99609375
我在想能不能用ordered probability解(好像是這個東西?)
具體思路如下x1,x2,x3,x4為4個0到1區間上uniform的rv,y1,y2,y3,y4為從小到大的這4個值所以可以構建ordered density=4!f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)=24,也就是f(y1,y2,y3,y4),求出distribution,第一段長度為y1,第二段y2-y1,....最後一段1-y4求出每段小於1/4的概率(分別要求y_(i+1)-y_i &<1/4)然後1減去乘積就行
沒去算,不知道行不行,不過上面兩個方法沒毛病微積分忘記是啥了,
概率學也基本不明白了,
那麼還是要給一個答案
這個問題是 1 - 5份都大於1/4 - 4份都大於1/4 - 3份都大於1/4 - 2份都大於1/4 - 0份都大於1/4 = 1份都大於1/4
得分吧?
切法不定怎麼確定概率呢?
比如說,一種定義的切法:每一刀切下去要比前一刀切下去的短(長);每兩刀切下去要求有兩段相同長度;第二刀切下去一定要切總長度刀四分之一
等等。
定義了切法才能定義概率
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