單元剛度矩陣一定是不可逆的嗎？請舉例並說明理由。

01-15

單元剛度矩陣一定是不可逆的嗎？請舉例並說明理由。

如果討論連續單元（Continuum element），剛度矩陣的確是不可逆的（我相信對於梁單元，板殼單元也是如此）。簡單來說，單元剛度矩陣要滿足在單元位移是純剛體平動或者轉動的情況不產生單元內力。

舉例來說，對於8結點六面體（8個積分點）位移單元，單元剛度矩陣的大小是24x24（因為8個結點x每個節點3個自由度），我印象中單元剛度矩陣的rank是18。

更有意思的是對於8結點六面體（1個積分點）縮減積分單元，單元剛度矩陣的大小還是24x24，但如果沒有加hourglass stablization, 它的單元剛度矩陣的rank是6。這個單元的特點是，不僅僅是剛體平動轉動不產生內力，還有若干中hourglass mode也不產生內力，這會導致計算的時候位移場非常的奇怪。

有些教科書會從比較有限元法中未知數的個數和方程的個數的角度來分析邊界條件的意義。

如上。

不可一概而論，文克爾地基上的梁單元或板單元，其單元剛度矩陣就不一定奇異，往往是可逆的。在這種情況下，剛體位移造成的零能現象是不存在的。

單元剛度矩陣是在單元「自由狀態」下推導的，即解除單元所受到的邊界條件。由於缺少邊界條件的約束，導致單元會存在剛體運動，從而造成單元剛度矩陣不可逆。

以我有限的知識，我沒見過單元剛度矩陣可逆的情況。

單元剛度陣的不可逆是因為剛度陣是奇異陣。單元剛度陣的奇異性在物理上的意義是，可以產生剛體位移。在未施加邊界條件之前，實體都是可以任意做剛體位移的，所以單元剛度陣是不可逆的，當單元剛度陣組合成總剛，然後施加合理邊界條件，這個時候剛度陣的奇異性消失，就可以求解了。

任何一個微分運算元作用在１上面都是零，所以顯然單元剛度矩陣一定不是單射的，故是不可逆的．

教科書中的經典單元（連續體，桿梁殼，熱力學等單元）的剛度矩陣[K]推導計算完畢後，一般而言非正定，下一步需要施加邊界條件，包括normal B.C. 和kinematic B.C. 在邊界條件對應的位置消去[K]中的元素。這一步操作之後，[K"]是正定的，也即[K』]可逆。

形象來講，[K]{U}={F}，施加邊界條件前，一個{F}可以對應無窮多種{U}（由於剛體運動），故[K]矩陣非正定；施加邊界條件後，{U}與{F}一一映射，故[K]矩陣正定。

奇異矩陣一定不可逆的吧