無窮維空間中可分性，凸性，自反性之間的聯繫？

01-15

泛函分析

謝邀：自反性是指(canoical injection)典範映射 $i_{can}:X o X$ 是一個滿射同構(isometry)的。一個初學者常見的錯誤時以為只要 $X$ 和 $X$ 之間存在一個滿射同構，那麼 $X$ 就是自反的，這就是錯誤的了。R. C. James構造了一個例子：存在一個非自反的banach空間使得 $X$ 和 $X$ 之間存在一個非典範映射的滿射同構。

凸性就比較複雜了，首先你可以說banach空間都是凸的，當然了。一般說的凸性是指嚴格凸(strictly convex)和一致凸(uniformly convex)。這兩類性質看起來是和範數的定義相關的。

表面上自反和凸性是沒有關係的，比如 $mathbb{R}^2$ 在1-範數下就是一個自反的非嚴格凸空間。但是，他們的也有有趣的內在聯繫。比如，一致凸空間是自反的。一個證明 $L^p$ 自反的思路就是利用不等式來證明它是一致凸的。同時，自反的空間 $(X,|cdot|)$ 上總可以定義一個等價範數 $|cdot|_*$ 範數使得 $(X,|cdot|_*)$ 變成嚴格凸。這個性質在非線性分析中是非常重要的。我們注意到 $mathbb{R}^2$ 在2-範數下是一致凸的，一個自然的問題是：其他自反空間上是否能夠通過定義等價範數變成一個一致凸的空間呢？很可惜，這是不成立的。文章 Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces 構造了一個自反、可分但是不可能通過新範數的方式變成一個一致凸空間。從這個例子也可以發現「可分性」和凸性，還有自反性是沒有什麼關係的。實際上，我們可以構造出一個不可分的希爾伯特空間（自然是自反和一致凸的），在 $mathbb{R}$ 定義的實函數中引入

$(f,g)=lim_{R o infty}frac{1}{R}int_{-R}^R f(x)g(x)dx$ ,

然後空間是使得在這個內積引導的範數下等價類（範數為有限的膜掉那些範數為0）可以構成一個希爾伯特空間。對於任意 $sin a x$ 和 $sin bx$ ，只要 $a eq b$ ,那麼它們就正交，說明這個希爾伯特空間具有不可數的正交基，自然是不可分的。

但是自反性和對偶空間也有下面的結果， $X$ 如果可分，那麼 $X$ 就是可分的。比如 $X$ 可分自反當且僅當 $X$ 可分自反。 一個空間的對偶空間的可分性和弱拓撲單位球的可度量性還是有關係的。如果 $X$ 可分，那麼 $B_{X$ 在弱星拓撲 $sigma(X$ 下是可度量的。同時 $B_X$ 在弱拓撲下是可度量的當且僅當 $X$ 可分的。